🔔 z-Wert-Rechner
Keine z-Tabelle nötig: Φ(z) wird direkt berechnet. Rechnen Sie vom Rohwert zu z und Perzentil, von z zu den Randwahrscheinlichkeiten oder von einem Ziel-Perzentil zurück zum nötigen Wert.
Kurz gesagt: Ein Wert von 85 bei Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 hat z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5. Das entspricht dem Perzentil 93,32: 93,32 % der Werte liegen darunter, 6,68 % darüber.
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Eingaben: z-Wert-Rechner
Ergebnis
z-Wert von 85
z = 1,5
1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert · Perzentil 93,32
- Perzentil
- 93,32
- P(Z < z), linker Rand
- 0,933193
- P(Z > z), rechter Rand
- 0,066807
| Zweiseitig P(|Z| > |z|) | 0,133614 |
| P(−1,5 < Z < 1,5) | 0,866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0,433193 |
| Anteil darunter / darüber | 93,32 % / 6,68 % |
Rechenweg
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1,5
- Linker Rand: P(Z < 1,5) = Φ(1,5) = 0,933193 → Perzentil 93,32
- Rechter Rand: P(Z > 1,5) = 1 − 0,933193 = 0,066807
- Zweiseitig: 2 × P(Z > 1,5) = 0,133614
Häufig verwendete z-Werte
| z | Perzentil (linker Rand) | Zweiseitiger p-Wert | Innerhalb von ±z |
|---|---|---|---|
| 0 | 50 % | 1 | 0 % |
| 0,5 | 69,15 % | 0,617075 | 38,29 % |
| 1 | 84,13 % | 0,317311 | 68,27 % |
| 1,282 | 90 % | 0,200001 | 80 % |
| 1,5 | 93,32 % | 0,133614 | 86,64 % |
| 1,645 | 95 % | 0,100001 | 90 % |
| 1,96 | 97,5 % | 0,05 | 95 % |
| 2 | 97,72 % | 0,0455 | 95,45 % |
| 2,326 | 99 % | 0,02 | 98 % |
| 2,576 | 99,5 % | 0,01 | 99 % |
| 3 | 99,87 % | 0,0027 | 99,73 % |
Die Formel für den z-Wert
Ein z-Wert (Standardwert) misst den Abstand zwischen einem Wert und dem Mittelwert in Einheiten der Standardabweichung.
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
Dabei ist x der Wert, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Die Umrechnung in z macht Werte aus unterschiedlichen Skalen – etwa eine Klausurpunktzahl und eine Körpergröße – auf einer gemeinsamen Skala vergleichbar.
Rechenbeispiel
Ein Test hat den Mittelwert 70 und die Standardabweichung 10. Sie haben 85 Punkte erreicht.
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5.
- Fläche links davon: Φ(1,5) = 0,9332 – Sie liegen also beim Perzentil 93,32.
- Fläche rechts davon: 1 − 0,9332 = 0,0668 – 6,68 % haben besser abgeschnitten.
Rückwärts gerechnet: Zum 95. Perzentil gehört z = 1,6449, also x = 70 + 1,6449 × 10 ≈ 86,45.
Die empirische Regel
| Bereich | Anteil der Werte |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27 % |
| μ ± 1,96σ | 95 % |
| μ ± 2σ | 95,45 % |
| μ ± 3σ | 99,73 % |
So nutzen Sie den Rechner
Wählen Sie, was Sie bestimmen möchten. Geben Sie einen Wert mit Mittelwert und Standardabweichung ein, um z-Wert und Perzentil zu erhalten; geben Sie ein Perzentil ein, um den passenden Wert zu finden; oder geben Sie direkt einen z-Wert ein, um die Wahrscheinlichkeiten abzulesen.
Welche Wahrscheinlichkeit brauche ich?
- Linker Rand P(Z < z): das Perzentil – der Anteil der Werte darunter.
- Rechter Rand P(Z > z): der Anteil der Werte darüber – der einseitige p-Wert für einen „größer als“-Test.
- Zweiseitig: die Wahrscheinlichkeit, mindestens so weit in eine der beiden Richtungen vom Mittelwert entfernt zu liegen – der p-Wert eines zweiseitigen z-Tests.
Die Wahrscheinlichkeiten setzen normalverteilte Daten voraus. Bei stark schiefen Daten können Perzentile aus einem z-Wert in die Irre führen.
Häufig gestellte Fragen
Was sagt ein z-Wert aus?
Um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht. z = 0 ist genau durchschnittlich, z = 1 liegt eine Standardabweichung darüber, z = −2 zwei darunter. In einer Normalverteilung haben etwa 68 % der Werte |z| < 1, 95 % |z| < 1,96 und 99,7 % |z| < 3.
Wie rechne ich einen z-Wert in ein Perzentil um?
Das Perzentil ist die Fläche unter der Standardnormalverteilung links von z, also Φ(z), mal 100. z = 1,5 ergibt Φ(1,5) = 0,9332, das Perzentil 93,32. Der Rechner bestimmt Φ exakt, eine z-Tabelle brauchen Sie nicht.
Kann ein z-Wert negativ sein?
Ja – ein negativer z-Wert bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. z = −1,5 entspricht dem Perzentil 6,68, dem Spiegelbild von z = 1,5.
Was ist ein „guter“ z-Wert?
Das hängt vom Zusammenhang ab. Bei Tests gilt z über 1 (etwa die besten 16 %) als überdurchschnittlich und über 2 (etwa die besten 2,3 %) als herausragend. In Statistik und Qualitätskontrolle wird |z| über 1,96 oder 3 oft als ungewöhnlich bzw. als Ausreißer gewertet.
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