√ Wurzelrechner
Geben Sie eine Zahl und den Wurzelexponenten ein (2 für die Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel). Bei ganzen Zahlen erhalten Sie zusätzlich die vereinfachte Wurzel – hergeleitet aus der Primfaktorzerlegung.
Kurz gesagt: √72 = 6√2 ≈ 8,4852813742, denn 72 = 36 × 2 und √36 = 6. Probe: 8,4852813742² ≈ 72.
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Eingaben: Wurzelrechner
Ergebnis
Quadratwurzel
√72 ≈ 8,4852813742
Vereinfacht: √72 = 6√2
- Ergebnis
- 8,4852813742
- Vereinfachte Wurzel
- 6√2
- Ganzzahlige Potenz?
- Nein
Rechenweg
- Primfaktorzerlegung: 72 = 2³ × 3²
- Jedes Paar gleicher Faktoren vor die Wurzel ziehen: √72 = 6√2
- √72 ≈ 8,4852813742
- Probe: 8,4852813742² ≈ 72
Was ist eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel aus x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Allgemein ist die n-te Wurzel aus x die Zahl, die hoch n genommen x ergibt.
√x = x^(1/2) · ⁿ√x = x^(1/n) · √(a × b) = √a × √b
Wurzeln vereinfachen (teilweises Wurzelziehen)
Um eine Quadratwurzel möglichst einfach zu schreiben, zerlegen Sie die Zahl in eine Quadratzahl mal einen Rest:
- Primfaktorzerlegung bestimmen: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².
- Gleiche Faktoren paarweise zusammenfassen: (2 × 2) und (3 × 3), eine 2 bleibt übrig.
- Jedes Paar kommt als einzelner Faktor vor die Wurzel: 2 × 3 = 6.
- Ergebnis: √72 = 6√2 ≈ 8,4852813742.
Bei Kubikwurzeln fassen Sie gleiche Faktoren in Dreiergruppen statt in Paaren zusammen: ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2.
Quadrat- und Kubikzahlen
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1.000 |
| 12 | 144 | 1.728 |
Ohne Taschenrechner schätzen
Suchen Sie die Quadratzahlen links und rechts davon. √50 liegt zwischen √49 = 7 und √64 = 8, viel näher an 7 – also knapp über 7 (genau 7,0710678 …). Wer die Quadratzahlen bis 15² kennt, schätzt so im Handumdrehen.
Tipps
- Gerade Wurzeln (Quadratwurzel, vierte Wurzel …) aus negativen Zahlen sind nicht reell; ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind negativ.
- Prüfen Sie jede Wurzel, indem Sie das Ergebnis wieder hoch n nehmen – der Rechner zeigt diese Probe.
- Vereinfachte Wurzeln sind exakt; verwenden Sie sie daher in Algebra- und Geometrieaufgaben.
Häufig gestellte Fragen
Wie vereinfacht man eine Quadratwurzel?
Zerlegen Sie die Zahl und ziehen Sie den Faktor heraus, der eine Quadratzahl ist. 72 = 36 × 2, also √72 = √36 × √2 = 6√2. Mit der Primfaktorzerlegung 2³ × 3² kommt jedes Paar gleicher Primfaktoren als ein einzelner Faktor vor die Wurzel.
Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?
Nicht in den reellen Zahlen – keine reelle Zahl ergibt quadriert etwas Negatives. In den komplexen Zahlen gilt √−4 = 2i mit i = √−1. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind dagegen kein Problem: Die dritte Wurzel aus −27 ist −3.
Was ist eine Quadratzahl?
Eine ganze Zahl, deren Quadratwurzel wieder ganz ist: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 und so weiter. Ihre Wurzeln sind exakt; jede andere positive ganze Zahl hat eine irrationale Quadratwurzel.
Wie berechne ich eine dritte oder vierte Wurzel?
Setzen Sie den Wurzelexponenten auf 3 für die Kubikwurzel, auf 4 für die vierte Wurzel und so weiter. Die n-te Wurzel aus x ist die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert x ergibt – ∛125 = 5, weil 5 × 5 × 5 = 125.
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