🔍 Primzahlrechner
Geben Sie eine ganze Zahl ein und sehen Sie, ob sie eine Primzahl ist. Wenn nicht, erhalten Sie ihre Primfaktorzerlegung – und in jedem Fall die nächstkleinere und nächstgrößere Primzahl.
Kurz gesagt: 97 ist eine Primzahl: Keine ganze Zahl von 2 bis 9 (√97 ≈ 9,8489) teilt sie ohne Rest. 91 dagegen ist keine Primzahl, denn 91 = 7 × 13.
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Eingaben: Primzahlrechner
Ergebnis
Ist das eine Primzahl?
97 ist eine Primzahl
Ihre einzigen Teiler sind 1 und 97.
- Kleinster Primfaktor
- 97
- Primfaktorzerlegung
- 97
- Anzahl der Teiler
- 2
- Vorherige Primzahl
- 89
- Nächste Primzahl
- 101
Rechenweg
- √97 ≈ 9,8489 – es genügt, Teiler bis 9 zu prüfen
- Keine ganze Zahl von 2 bis 9 teilt 97 ohne Rest, also ist 97 eine Primzahl
Wann ist eine Zahl eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, deren einzige Teiler die 1 und sie selbst sind. Zahlen mit mehr Teilern heißen zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder das eine noch das andere.
n ist prim ⇔ n > 1 und keine ganze Zahl d mit 2 ≤ d ≤ √n teilt n
Warum genügt es, bis zur Quadratwurzel zu prüfen?
Ist n = a × b, können a und b nicht beide größer als √n sein – ihr Produkt wäre sonst zu groß. Jede zusammengesetzte Zahl hat also einen Teiler, der nicht größer als ihre Quadratwurzel ist, und dort kann man mit der Suche aufhören.
Rechenbeispiele
- 97: √97 ≈ 9,85. Geprüft werden 2, 3, 5 und 7 – keine davon teilt 97, also ist 97 eine Primzahl.
- 91: √91 ≈ 9,54. 91 ÷ 7 = 13 ohne Rest, also ist 91 = 7 × 13 zusammengesetzt – eine klassische Falle, weil 91 „wie eine Primzahl aussieht“.
- 360: dreimal durch 2, zweimal durch 3 und einmal durch 5 teilen: 360 = 2³ × 3² × 5, mit (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 Teilern.
Die ersten Primzahlen
| Bereich | Primzahlen |
|---|---|
| 1–25 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 |
| 26–50 | 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51–100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Unter 100 gibt es 25 Primzahlen und insgesamt unendlich viele, wie Euklid schon vor über 2.000 Jahren bewiesen hat.
Schnelle Teilbarkeitsregeln
- 2: Die letzte Ziffer ist gerade.
- 3: Die Quersumme ist durch 3 teilbar.
- 5: Die Zahl endet auf 0 oder 5.
- 11: Die alternierende Quersumme ist durch 11 teilbar.
Der Rechner prüft jede ganze Zahl bis eine Billion exakt – per Probedivision durch 2, 3 und Zahlen der Form 6k ± 1.
Häufig gestellte Fragen
Ist 1 eine Primzahl?
Nein. Eine Primzahl hat genau zwei verschiedene Teiler, die 1 und sich selbst – die 1 hat aber nur einen. Dass die 1 ausgeschlossen ist, sorgt außerdem dafür, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig bleibt; sonst könnte man 6 = 2 × 3 × 1 × 1 × … schreiben.
Ist 2 die einzige gerade Primzahl?
Ja. Jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar und hat damit mindestens drei Teiler (1, 2 und sich selbst). Die 2 ist also die kleinste und die einzige gerade Primzahl.
Wie prüft man, ob eine große Zahl eine Primzahl ist?
Man testet die Teilbarkeit durch Primzahlen bis zu ihrer Quadratwurzel – teilt keine davon die Zahl, ist sie prim. Bei 1.000.000.007 heißt das, Teiler bis etwa 31.623 zu prüfen; der Rechner erledigt das in Sekundenbruchteilen.
Was ist eine Primfaktorzerlegung?
Die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen, zum Beispiel 360 = 2³ × 3² × 5. Jede ganze Zahl größer als 1 hat genau eine Primfaktorzerlegung (Fundamentalsatz der Arithmetik).
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