📏 Satz-des-Pythagoras-Rechner
Geben Sie zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ein, und wir berechnen die dritte – die Hypotenuse oder eine fehlende Kathete. Dazu erhalten Sie die beiden spitzen Winkel, den Flächeninhalt und den Umfang.
Kurz gesagt: Die Hypotenuse ist c = √(a² + b²). Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten 3 und 4 ist c = √(9 + 16) = √25 = 5.
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Ergebnis
Hypotenuse
c = 5
- Seiten
- 3; 4; 5
- Flächeninhalt (½ab)
- 6
- Umfang
- 12
- Winkel gegenüber a
- 36,8699°
- Winkel gegenüber b
- 53,1301°
Rechenweg
- Satz des Pythagoras: c = √(a² + b²)
- Katheten quadrieren: 3² = 9; 4² = 16
- Addieren: 9 + 16 = 25
- Wurzel ziehen: c = √25 = 5
Der Satz
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c (immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel) gilt:
a² + b² = c² · c = √(a² + b²) · b = √(c² − a²)
Die Hypotenuse berechnen
Beispiel: Katheten von 3 und 4. Quadrieren: 9 und 16. Addieren: 25. Wurzel ziehen: c = 5. Dieses 3-4-5-Dreieck ist das bekannteste pythagoreische Tripel – Baumeister nutzen es seit Jahrtausenden, um rechte Winkel abzustecken.
Eine Kathete berechnen
Beispiel: Eine 10 Fuß lange Leiter lehnt an einer Wand, ihr Fuß steht 6 Fuß von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? b = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 Fuß.
Bekannte pythagoreische Tripel
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Mehr als die fehlende Seite
Sind alle drei Seiten bekannt, gibt der Rechner auch den Flächeninhalt (½ × a × b, da die Katheten senkrecht aufeinander stehen), den Umfang und die beiden spitzen Winkel an. Diese ergeben sich mit dem Arkustangens: Winkel gegenüber a = tan⁻¹(a ÷ b). Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen immer 90°.
Tipps
- Verwenden Sie für alle Seiten dieselbe Einheit – das Ergebnis hat dann ebenfalls diese Einheit.
- Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete; sonst können die Zahlen kein rechtwinkliges Dreieck bilden.
- Ob ein Dreieck rechtwinklig ist, prüfen Sie, indem Sie testen, ob die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite ergeben.
- Der Abstand zweier Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) beruht auf derselben Idee: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Häufig gestellte Fragen
Was besagt der Satz des Pythagoras?
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse (der Seite gegenüber dem rechten Winkel) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten: a² + b² = c². Er gilt nur für Dreiecke mit einem 90°-Winkel.
Wie berechne ich statt der Hypotenuse eine fehlende Kathete?
Stellen Sie die Formel um zu b = √(c² − a²). Bei einer Hypotenuse von 13 und einer Kathete von 5 ist die andere Kathete √(169 − 25) = √144 = 12. Wählen Sie dazu im Menü „Berechnen“ die Option „Eine Kathete“.
Was sind pythagoreische Tripel?
Drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Jedes Vielfache eines Tripels, zum Beispiel 6-8-10, ist ebenfalls ein Tripel.
Warum zeigt das Ergebnis eine Wurzel wie 5√2?
Ist das Ergebnis keine ganze Zahl, gibt der Rechner zusätzlich die exakte, vereinfachte Wurzel an. Katheten von 5 und 5 ergeben c = √50 = 5√2 ≈ 7,071068.
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