📈 Logarithmus-Rechner
Wählen Sie die Basis 10, e oder 2 oder geben Sie eine eigene Basis ein. Bei jeder Basis außer e zeigt das Ergebnis den Schritt ln(x) ÷ ln(b), sodass Sie ihn mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner nachprüfen können.
Kurz gesagt: log₁₀(1000) = 3, denn 10³ = 1000. Der natürliche Logarithmus ist ln(1000) ≈ 6,907755279, und jede Basis lässt sich mit dem Basiswechselsatz logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b) berechnen.
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Eingaben: Logarithmus-Rechner
Ergebnis
log₁₀(1.000)
= 3
denn 10^3 = 1.000
- log₁₀(x)
- 3
- ln(x)
- 6,907755279
- log₂(x)
- 9,9657842847
Rechenweg
- Definition: log₁₀(1.000) = y bedeutet 10^y = 1.000
- Basiswechsel: log₁₀(1.000) = ln(1.000) ÷ ln(10) = 6,907755279 ÷ 2,302585093 = 3
- Probe: 10^3 = 1.000
Was ein Logarithmus bedeutet
Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Ergibt b hoch y den Wert x, dann ist y der Logarithmus von x zur Basis b:
logᵦ(x) = y ⇔ bʸ = x · logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b)
Die zweite Formel, der Basiswechselsatz, berechnet einen Logarithmus zu jeder Basis allein mit natürlichen (oder dekadischen) Logarithmen.
Die drei gebräuchlichen Basen
| Basis | Schreibweise | Typische Anwendung |
|---|---|---|
| 10 | lg oder log₁₀ | pH-Wert, Dezibel, Richterskala, Größenordnungen |
| e ≈ 2,71828 | ln | stetiges Wachstum, Analysis, Zinseszins |
| 2 | lb oder log₂ | Informatik, Bits, Halbieren und Verdoppeln |
Beispiel
log₁₀(1000) = 3, denn 10 × 10 × 10 = 1000. Für eine eigene Basis nehmen wir log₃(81): ln 81 ≈ 4,394449 und ln 3 ≈ 1,098612; die Division ergibt genau 4 – und tatsächlich ist 3⁴ = 81.
Logarithmusgesetze
- Produkt: log(ab) = log a + log b
- Quotient: log(a ÷ b) = log a − log b
- Potenz: log(aⁿ) = n × log a
- Besondere Werte: logᵦ(1) = 0 und logᵦ(b) = 1 für jede zulässige Basis
Tipps
- Die Zahl muss größer als 0 sein, die Basis positiv und ungleich 1.
- Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 sind negativ: log₁₀(0,01) = −2.
- Um bˣ = y nach x aufzulösen, logarithmieren Sie: x = ln(y) ÷ ln(b) – praktisch für Fragen wie „Wann hat sich mein Geld verdoppelt?“
- Jeder Schritt um 1 beim dekadischen Logarithmus bedeutet den Faktor 10. Deshalb hat ein Erdbeben der Magnitude 6 die zehnfache Wellenamplitude eines Bebens der Magnitude 5.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um diese Zahl zu erhalten?“ log₂(8) = 3, denn 2³ = 8. Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition – deshalb tauchen sie in Naturwissenschaft, Finanzen und Informatik auf.
Was ist der Unterschied zwischen log, lg und ln?
lg (oft auch einfach „log“) ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10, ln der natürliche Logarithmus zur Basis e ≈ 2,718281828. In vielen Programmiersprachen und in der höheren Mathematik bedeutet log allerdings ln – achten Sie auf den Zusammenhang.
Wie berechne ich einen Logarithmus zu einer anderen Basis?
Mit dem Basiswechselsatz: logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b) (oder lg(x) ÷ lg(b)). Zum Beispiel log₃(81) = ln 81 ÷ ln 3 = 4,394449 ÷ 1,098612 = 4.
Warum gibt es keinen Logarithmus von null oder einer negativen Zahl?
Eine positive Basis ergibt mit jeder reellen Hochzahl immer eine positive Zahl, also führt kein Exponent zu 0 oder einem negativen Wert. Dort ist der Logarithmus nicht definiert; nähert sich x der 0, strebt der Logarithmus gegen minus unendlich.
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