ⁿ Potenzrechner
Geben Sie eine Basis und einen Exponenten wie 3, −2, 0,5 oder 2/3 ein oder wechseln Sie zur n-ten Wurzel. Der Rechenweg zeigt, welches Potenzgesetz greift, und ganzzahlige Potenzen erhalten Sie als exakte ganze Zahl.
Kurz gesagt: 8^(2/3) bedeutet: Kubikwurzel aus 8 ziehen und das Ergebnis quadrieren: (∛8)² = 2² = 4. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert, also 8^(−2/3) = 1/4 = 0,25.
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Eingaben: Potenzrechner
Ergebnis
8^(2/3) =
4
- Wissenschaftliche Schreibweise
- 4 × 10⁰
- log₁₀ des Ergebnisses
- 0,60206
Rechenweg
- Gebrochener Exponent 2/3: die Kubikwurzel ziehen, dann hoch 2 nehmen
- ∛8 = 2
- 2² = 4
- Mit Dezimalexponent: 8^0,66666667 = 4
Potenzgesetze
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| Potenz einer Potenz | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potenz eines Produkts | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 5)³ = 8 × 125 = 1.000 |
| Exponent null | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Gebrochener Exponent | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = (∛8)² = 4 |
Potenzen von 8
| Potenz | Wert |
|---|---|
| 8⁻³ | 0,001953125 |
| 8⁻² | 0,015625 |
| 8⁻¹ | 0,125 |
| 8⁰ | 1 |
| 8¹ | 8 |
| 8² | 64 |
| 8³ | 512 |
| 8⁴ | 4.096 |
| 8⁵ | 32.768 |
| 8¹⁰ | 1.073.741.824 |
Was ein Exponent bedeutet
Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Die folgenden Regeln übertragen das auf Exponenten, die null, negativ oder gebrochen sind.
aⁿ = a × a × … × a (n-mal) · a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Rechenbeispiel
Berechnen Sie 8^(2/3):
- Der Nenner 3 steht für die Kubikwurzel: ∛8 = 2.
- Der Zähler 2 heißt quadrieren: 2² = 4.
- Also ist 8^(2/3) = 4. Mit negativem Exponenten gilt 8^(−2/3) = 1 ÷ 4 = 0,25.
Die Potenzgesetze
| Gesetz | Formel |
|---|---|
| Produktregel | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| Quotientenregel | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| Potenzieren einer Potenz | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| Exponent null | a⁰ = 1 |
| Negativer Exponent | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
So nutzen Sie den Rechner
Geben Sie Basis und Exponent ein. Der Exponent kann eine ganze Zahl (3), eine negative Zahl (−2), eine Dezimalzahl (0.5, mit Punkt eingeben) oder ein Bruch (2/3) sein. Für Wurzeln wechseln Sie zu „n-te Wurzel“ und geben die Zahl und den Wurzelexponenten ein. Der Rechenweg zeigt, wie jedes Gesetz angewendet wird.
Wurzeln als Potenzen
Jede Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3) und die n-te Wurzel ist x^(1/n). Wählen Sie oben „n-te Wurzel“, um etwa die 5. Wurzel aus 32 (= 2) zu berechnen. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind reell, gerade nicht.
Große Ergebnisse
Sind Basis und Exponent ganze Zahlen, berechnet der Rechner zusätzlich die exakte ganze Zahl, egal wie viele Stellen sie hat – 2^100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 –, statt auf wissenschaftliche Schreibweise zu runden.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Ein negativer Exponent bedeutet „eins geteilt durch“ die positive Potenz: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Also ist 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125. Das Ergebnis wird dadurch nicht negativ.
Wie funktionieren gebrochene Exponenten?
Der Nenner gibt die Wurzel an, der Zähler die Potenz: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, und 16^(1/2) ist einfach √16 = 4.
Warum ist jede Zahl hoch 0 gleich 1?
Beim Dividieren von Potenzen werden die Exponenten subtrahiert: aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, und jede Zahl geteilt durch sich selbst ergibt 1. Der Fall 0⁰ bleibt hier undefiniert, auch wenn viele Fachgebiete ihn per Konvention als 1 festlegen.
Kann eine negative Zahl einen gebrochenen Exponenten haben?
Nur wenn die Wurzel ungerade ist. (−8)^(1/3) = −2, weil ∛(−8) = −2, aber (−4)^(1/2) = √(−4) hat keinen reellen Wert – es ist die imaginäre Zahl 2i.
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