📐 Rechner für quadratische Gleichungen
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein. Die Diskriminante zeigt, welche Art von Lösungen zu erwarten ist, und der Rechenweg, wie die Mitternachtsformel zum Ergebnis kommt.
Kurz gesagt: Für x² − 3x + 2 = 0 ist die Diskriminante (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1, also liefert die Mitternachtsformel x = (3 ± 1) ÷ 2: Die Lösungen sind x = 2 und x = 1, der Scheitelpunkt liegt bei (1,5; −0,25).
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Eingaben: Rechner für quadratische Gleichungen
Ergebnis
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2; x₂ = 1
Zwei verschiedene reelle Lösungen (Diskriminante > 0)
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Scheitelpunkt
- (1,5; −0,25)
- Symmetrieachse
- x = 1,5
| Öffnung der Parabel | Nach oben (Minimum im Scheitelpunkt) |
| Schnittpunkt mit der y-Achse | (0; 2) |
| Summe der Lösungen (−b/a) | 3 |
| Produkt der Lösungen (c/a) | 2 |
Rechenweg
- Koeffizienten ablesen: a = 1; b = −3; c = 2
- Diskriminante: D = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- Mitternachtsformel: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- Lösungen: x₁ = 2; x₂ = 1
- Scheitelpunkt: x = −b ÷ 2a = 1,5; y = c − b² ÷ 4a = −0,25
Die Mitternachtsformel
Jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 lässt sich mit einer einzigen Formel lösen:
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
Der Ausdruck unter der Wurzel, D = b² − 4ac, heißt Diskriminante. Sie verrät schon vor dem Ende der Rechnung, welche Art von Lösungen herauskommt.
| Diskriminante | Lösungen | Graph |
|---|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene reelle Lösungen | Schneidet die x-Achse zweimal |
| D = 0 | Eine doppelte reelle Lösung | Berührt die x-Achse im Scheitelpunkt |
| D < 0 | Zwei konjugiert komplexe Lösungen | Trifft die x-Achse nie |
Rechenbeispiel
Gesucht sind die Lösungen von x² − 3x + 2 = 0. Hier ist a = 1, b = −3 und c = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 und x₂ = 2 ÷ 2 = 1.
Probe durch Faktorisieren: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den Nullstellen bei x = 1,5, dort ist y = −0,25.
Scheitelpunkt und Symmetrie
Die Parabel y = ax² + bx + c wendet bei x = −b ÷ 2a. Setzt man diesen Wert ein, erhält man die y-Koordinate c − b² ÷ 4a. Die Summe der Lösungen ist immer −b/a und ihr Produkt c/a (Satz von Vieta) – eine schnelle Probe für Ihre Ergebnisse.
Tipps
- Formen Sie die Gleichung so um, dass eine Seite null ist, bevor Sie a, b und c ablesen.
- Achten Sie auf die Vorzeichen: Steht in der Gleichung „− 5x“, ist b = −5.
- Bei kleinen Zahlen lohnt sich zuerst ein Versuch mit Faktorisieren; sonst hilft die Formel.
- Der Rechner verwendet eine numerisch stabile Form der Formel und bleibt daher auch dann genau, wenn b² viel größer als 4ac ist.
Häufig gestellte Fragen
Was sagt die Diskriminante aus?
Die Diskriminante D = b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen. Ist D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, bei D = 0 eine doppelte reelle Lösung und bei D < 0 zwei konjugiert komplexe Lösungen – die Parabel schneidet die x-Achse dann nie.
Wie gebe ich eine Gleichung wie 2x² = 8 ein?
Bringen Sie zuerst alle Terme auf eine Seite, sodass 2x² − 8 = 0 dasteht. Dann ist a = 2, b = 0 und c = −8, und die Lösungen sind x = 2 und x = −2.
Was sind komplexe Lösungen?
Ist die Diskriminante negativ, ist ihre Wurzel imaginär. Die Lösungen haben dann die Form p ± qi mit i = √−1. Für x² + 2x + 5 = 0 lauten sie −1 + 2i und −1 − 2i.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Das ist der Wendepunkt der Kurve y = ax² + bx + c bei x = −b / 2a. Für a > 0 ist er das Minimum, für a < 0 das Maximum, und der Graph ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch diesen Punkt.
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