🔢 ggT- und kgV-Rechner
Geben Sie zwei oder mehr natürliche Zahlen ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen. Jede Zahl wird in Primfaktoren zerlegt, sodass Sie sehen, welche Primzahlen den größten gemeinsamen Teiler und welche das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen.
Kurz gesagt: Für 12, 18 und 30 ist der ggT 6 und das kgV 180: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² und 30 = 2 × 3 × 5, also ggT = 2 × 3 und kgV = 2² × 3² × 5.
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Eingaben: ggT- und kgV-Rechner
Ergebnis
ggT und kgV von 12, 18 und 30
ggT = 6 · kgV = 180
- Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
- 6
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
- 180
- Teilerfremd?
- Nein
Rechenweg
- Jede Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben (siehe Tabelle)
- ggT: Jeden Primfaktor, der in allen Zahlen vorkommt, mit seiner kleinsten Hochzahl nehmen: 2 × 3 = 6
- kgV: Jeden Primfaktor, der in irgendeiner Zahl vorkommt, mit seiner größten Hochzahl nehmen: 2² × 3² × 5 = 180
Primfaktorzerlegungen
| Zahl | Primfaktorzerlegung |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
Begriffe
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, durch die jede Zahl der Liste ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, die durch jede Zahl der Liste ohne Rest teilbar ist. Im Englischen heißen sie GCD (oder GCF, HCF) und LCM.
Bestimmung über die Primfaktorzerlegung
Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren. Dann gilt:
ggT = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit der kleinsten Hochzahl · kgV = Produkt aller Primfaktoren mit der größten Hochzahl
Beispiel: 12, 18 und 30
| Zahl | Primfaktoren |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- In allen drei Zahlen enthalten: 2 und 3, kleinste Hochzahlen 2¹ und 3¹ → ggT = 6.
- Alle Primfaktoren mit ihrer größten Hochzahl: 2², 3², 5 → kgV = 4 × 9 × 5 = 180.
Euklidischer Algorithmus
Bei zwei großen Zahlen ist der euklidische Algorithmus schneller als die Zerlegung: Ersetzen Sie die größere Zahl so lange durch den Rest bei der Division durch die kleinere, bis der Rest 0 ist. Für 48 und 18: 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, also ggT = 6. Dann ist kgV = 48 × 18 : 6 = 144.
Wo Sie sie brauchen
- Bruchrechnung: Mit dem ggT kürzen Sie einen Bruch vollständig; das kgV der Nenner ist der Hauptnenner.
- Fliesen und Zuschnitt: Der ggT ergibt die größte quadratische Fliese, die ein Rechteck lückenlos füllt.
- Wiederkehrende Ereignisse: Das kgV zeigt, wann sich Zyklen wieder decken.
Tipps
- Der ggT kann nie größer sein als die kleinste Zahl, das kgV nie kleiner als die größte.
- Der Rechner akzeptiert bis zu 20 positive ganze Zahlen bis jeweils eine Billion und berechnet das kgV auch dann exakt, wenn es sehr groß wird.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeuten ggT und kgV?
Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) ist die größte natürliche Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste positive Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.
Wofür braucht man das kgV?
Das kleinste gemeinsame Vielfache liefert den Hauptnenner beim Addieren von Brüchen und löst Taktprobleme: Fährt ein Bus alle 12 Minuten und ein anderer alle 18, treffen sie sich alle kgV(12, 18) = 36 Minuten.
Gibt es eine Formel, die kgV und ggT verbindet?
Für zwei Zahlen gilt kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b. Also ist kgV(12, 18) = 12 × 18 : 6 = 36. Für drei oder mehr Zahlen funktioniert diese Abkürzung nicht direkt.
Was bedeutet es, wenn der ggT 1 ist?
Die Zahlen sind teilerfremd: Sie haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, wie 8 und 15. Ihr kgV ist dann einfach ihr Produkt, also 120.
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