🔺 Dreiecksrechner
Geben Sie ein, was Sie kennen – die Seiten a, b, c und die gegenüberliegenden Winkel A, B, C –, und die fehlenden Werte werden mit Sinus- oder Kosinussatz berechnet, jeder Schritt mit Rechenweg.
Kurz gesagt: Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat die Winkel 36,87°, 53,13° und 90°, eine Fläche von 6 und einen Umfang von 12 – es ist ein rechtwinkliges, ungleichseitiges Dreieck.
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Eingaben: Dreiecksrechner
Ergebnis
Berechnetes Dreieck (rechtwinklig, ungleichseitig)
A = 36,87°, B = 53,13°, C = 90°
Seiten 3; 4; 5
- Fläche
- 6
- Umfang
- 12
- Dreiecksart
- Rechtwinklig, ungleichseitig
| Seiten a, b, c | 3; 4; 5 |
| Winkel A, B, C | 36,8699°; 53,1301°; 90° |
| Winkel im Bogenmaß | 0,6435; 0,9273; 1,5708 |
| Höhen hₐ, h_b, h_c | 4; 3; 2,4 |
| Halber Umfang s | 6 |
| Inkreisradius r = Fläche ÷ s | 1 |
| Umkreisradius R = a ÷ (2 sin A) | 2,5 |
Rechenweg
- Kosinussatz: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc) = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = 36,8699°
- B = arccos((a² + c² − b²) ÷ 2ac) = 53,1301°
- C = 180° − A − B = 90°
- Fläche (Satz des Heron): √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Umfang: 3 + 4 + 5 = 12
So berechnen Sie ein Dreieck
Bezeichnen Sie die Seiten mit a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit A, B und C. Wählen Sie den Fall, der zu Ihren Angaben passt, und geben Sie drei Werte ein; den Rest berechnet der Rechner.
Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab·cos C · Sinussatz: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C
| Bekannt | Methode |
|---|---|
| SSS – drei Seiten | Kosinussatz für jeden Winkel |
| SWS – zwei Seiten und eingeschlossener Winkel | Kosinussatz für die dritte Seite, dann die Winkel |
| WSW / WWS – zwei Winkel und eine Seite | Dritter Winkel = 180° − A − B, dann Sinussatz |
| SSW – zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel | Sinussatz; 0, 1 oder 2 Lösungen möglich |
Rechenbeispiel (SSS)
Seiten 3, 4 und 5:
- A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = arccos(0,8) = 36,87°.
- B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5)) = arccos(0,6) = 53,13°.
- C = 180° − 36,87° − 53,13° = 90°, das Dreieck ist also rechtwinklig.
- s = 6, also Fläche = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, und der Umfang beträgt 12.
Dreiecksarten
- Nach Seiten: gleichseitig (alle Seiten gleich), gleichschenklig (zwei Seiten gleich), ungleichseitig (keine Seiten gleich).
- Nach Winkeln: spitzwinklig (alle unter 90°), rechtwinklig (einer genau 90°), stumpfwinklig (einer über 90°).
Kontrollen
- Die drei Winkel ergeben zusammen immer 180°.
- Dreiecksungleichung: Zwei Seiten zusammen müssen länger sein als die dritte – 2, 3 und 6 ist also unmöglich.
- Der längsten Seite liegt immer der größte Winkel gegenüber.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeuten SSS, SWS, WSW, WWS und SSW?
Die Kürzel geben an, welche drei Größen Sie kennen, in ihrer Reihenfolge am Dreieck: S steht für eine Seite, W für einen Winkel. SWS heißt zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, WWS zwei Winkel und eine Seite, die nicht zwischen ihnen liegt. Jeder dieser Fälle legt das Dreieck fest – außer SSW, das null, ein oder zwei Dreiecke ergeben kann.
Warum kann SSW zwei Dreiecke ergeben?
Kennt man zwei Seiten und einen Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, kann die dritte Ecke manchmal an zwei Stellen liegen. Der Sinussatz liefert sin B, und sowohl B als auch 180° − B können passen. Das ist der „mehrdeutige Fall“; der Rechner zeigt beide Dreiecke, wenn es sie gibt.
Warum lässt sich ein Dreieck nicht aus drei Winkeln berechnen?
Drei Winkel legen die Form fest, aber nicht die Größe – jede vergrößerte oder verkleinerte Kopie hat dieselben Winkel. Sie brauchen mindestens eine Seitenlänge.
Wie wird die Fläche berechnet?
Sobald alle drei Seiten bekannt sind, verwendet der Rechner den Satz des Heron: Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) mit dem halben Umfang s. Gleichwertige Formeln sind ½ab·sin C und ½ × Grundseite × Höhe.
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