📏 Steigungsrechner
Geben Sie (x₁|y₁) und (x₂|y₂) ein. Auch senkrechte und waagerechte Geraden werden berechnet, und die Steigung erscheint als exakter Bruch, wann immer es einen gibt.
Kurz gesagt: Die Steigung durch (2|3) und (6|11) ist m = (11 − 3) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Die Gerade lautet also y = 2x − 1; sie steigt mit einem Winkel von 63,4349°, und die Punkte liegen 8,944272 auseinander.
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Eingaben: Steigungsrechner
Ergebnis
Steigung der Geraden durch (2|3) und (6|11)
m = 2
Steigend (positive Steigung)
- Normalform
- y = 2x − 1
- Steigungswinkel
- 63,4349°
- Abstand
- 8,944272
- Mittelpunkt
- (4|7)
| Punkt-Steigungs-Form | y − 3 = 2(x − 2) |
| Allgemeine Form | 2x − y = 1 |
| Schnittpunkt mit der y-Achse | (0|−1) |
| Nullstelle (Schnitt mit der x-Achse) | (0,5|0) |
| Steigungsdreieck Δy / Δx | 8 / 4 |
| Steigung in Prozent (Steigung × 100) | 200 % |
| Senkrechte durch Punkt 1 | y = −0,5x + 4 |
Rechenweg
- Änderung von y: Δy = y₂ − y₁ = 11 − 3 = 8
- Änderung von x: Δx = x₂ − x₁ = 6 − 2 = 4
- Steigung: m = Δy ÷ Δx = 8 ÷ 4 = 2
- y-Achsenabschnitt: b = y₁ − m·x₁ = 3 − 2 × 2 = −1
- Gleichung: y = 2x − 1
- Winkel: θ = arctan(2) = 63,4349°
- Abstand: √(4² + 8²) = √80 = 8,944272
- Mittelpunkt: ((2 + 6) ÷ 2 | (3 + 11) ÷ 2) = (4|7)
Die Formel für die Steigung
Die Steigung gibt an, wie steil eine Gerade ist: um wie viel sich y ändert, wenn x um eine Einheit zunimmt.
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = Höhenunterschied ÷ Horizontalabstand
Rechenbeispiel
Gesucht ist die Gerade durch (2|3) und (6|11).
- Änderung von y: 11 − 3 = 8. Änderung von x: 6 − 2 = 4.
- Steigung: m = 8 ÷ 4 = 2.
- y-Achsenabschnitt: b = y₁ − m·x₁ = 3 − 2 × 2 = −1.
- Gleichung: y = 2x − 1 (Punkt-Steigungs-Form: y − 3 = 2(x − 2); allgemeine Form: 2x − y = 1).
- Winkel: arctan(2) ≈ 63,43°. Abstand: √(4² + 8²) = √80 ≈ 8,944. Mittelpunkt: (4|7).
So nutzen Sie den Rechner
Geben Sie die x- und y-Koordinaten zweier verschiedener Punkte ein. Der Rechner liefert die Steigung (als Dezimalzahl und, wenn möglich, als exakten Bruch), die Geradengleichung in drei Formen, die Achsenschnittpunkte, den Winkel, den Abstand und den Mittelpunkt – jeweils mit Rechenweg.
Formen der Geradengleichung
| Form | Gleichung | Praktisch für |
|---|---|---|
| Normalform | y = mx + b | Zeichnen, y-Achsenabschnitt ablesen |
| Punkt-Steigungs-Form | y − y₁ = m(x − x₁) | Gerade aus einem Punkt und der Steigung aufstellen |
| Allgemeine Form | Ax + By = C | Ganzzahlige Koeffizienten, Gleichungssysteme |
| Senkrechte Gerade | x = a | Nicht definierte Steigung |
Die Steigung deuten
- Positiv: Die Gerade steigt von links nach rechts.
- Negativ: Sie fällt von links nach rechts.
- Null: waagerecht. Nicht definiert: senkrecht.
- Als Steigung in Prozent (Straßen, Rampen) multiplizieren Sie die Steigung mit 100: Eine Steigung von 0,08 sind 8 %.
Der Abstand der Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras, d = √(Δx² + Δy²), der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Koordinaten.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für die Steigung?
Steigung m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), also die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x – das Steigungsdreieck. Welchen Punkt Sie als ersten nehmen, ist egal, solange Sie oben und unten in derselben Reihenfolge subtrahieren.
Was bedeutet eine nicht definierte Steigung?
Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, ist die Änderung von x gleich 0 – und durch 0 kann man nicht teilen. Die Gerade verläuft senkrecht, ihre Gleichung ist einfach x = konstant. Eine Steigung von 0 dagegen beschreibt eine waagerechte Gerade y = konstant.
Wie rechne ich die Steigung in einen Winkel um?
Der Steigungswinkel ist θ = arctan(m). Eine Steigung von 1 entspricht 45°, eine Steigung von 2 etwa 63,43°, und eine negative Steigung ergibt einen negativen Winkel (die Gerade fällt von links nach rechts).
Welche Steigung hat eine senkrechte Gerade (Orthogonale)?
Den negativen Kehrwert: −1 ÷ m. Senkrecht zu einer Steigung von 2 steht eine Gerade mit der Steigung −1/2. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung.
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