📊 Konfidenzintervall-Rechner
Geben Sie Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe oder die Zahl der Treffer ein und erhalten Sie das Intervall, die Fehlermarge und den kritischen Wert dahinter.
Kurz gesagt: Für einen Stichprobenmittelwert von 50 mit s = 8 und n = 25 lautet das 95-%-Konfidenzintervall 50 ± 2,0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3,3022, also 46,6978 bis 53,3022.
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Eingaben: Konfidenzintervall-Rechner
Ergebnis
95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert
46,6978 bis 53,3022
50 ± 3,3022
- Fehlermarge
- ±3,3022
- Kritischer Wert t* (FG = 24)
- 2,0639
- Standardfehler
- 1,6
Rechenweg
- Kritischer Wert für 95 % Konfidenz: t* (FG = 24) = 2,0639
- Standardfehler: s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1,6
- Fehlermarge: 2,0639 × 1,6 = 3,302238
- Intervall: 50 ± 3,3022 = [46,6978; 53,3022]
Mit 95 % Konfidenz liegt der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit zwischen 46,6978 und 53.3022.
Dieselben Daten bei anderen Konfidenzniveaus
| Konfidenzniveau | Kritischer Wert | Fehlermarge | Intervall |
|---|---|---|---|
| 80 % | 1,3178 | ±2,1085 | 47,8915 bis 52,1085 |
| 85 % | 1,4871 | ±2,3794 | 47,6206 bis 52,3794 |
| 90 % | 1,7109 | ±2,7374 | 47,2626 bis 52,7374 |
| 95 % | 2,0639 | ±3,3022 | 46,6978 bis 53,3022 |
| 98 % | 2,4922 | ±3,9875 | 46,0125 bis 53,9875 |
| 99 % | 2,7969 | ±4,4751 | 45,5249 bis 54,4751 |
| 99,9 % | 3,7454 | ±5,9926 | 44,0074 bis 55,9926 |
Formeln für Konfidenzintervalle
Mittelwert: x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · Anteil: p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
Der Teil nach dem ± ist die Fehlermarge: der kritische Wert mal dem Standardfehler.
Rechenbeispiel
Eine Stichprobe von 25 Werten hat einen Mittelwert von 50 und eine Standardabweichung von 8. Gesucht ist das 95-%-Intervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit.
- σ ist unbekannt, also verwenden Sie t mit 25 − 1 = 24 Freiheitsgraden: t* = 2,0639.
- Standardfehler = 8 ÷ √25 = 1,6.
- Fehlermarge = 2,0639 × 1,6 = 3,3022.
- Intervall = 50 ± 3,3022 = 46,6978 bis 53,3022.
Mit z statt t (1,96 × 1,6 = 3,136) wäre das Intervall etwas schmaler – deshalb täuscht z bei kleinen Stichproben eine zu hohe Genauigkeit vor.
Kritische Werte
| Konfidenzniveau | z* | t* (FG = 10) | t* (FG = 30) |
|---|---|---|---|
| 80 % | 1,2816 | 1,3722 | 1,3104 |
| 90 % | 1,6449 | 1,8125 | 1,6973 |
| 95 % | 1,9600 | 2,2281 | 2,0423 |
| 98 % | 2,3263 | 2,7638 | 2,4573 |
| 99 % | 2,5758 | 3,1693 | 2,7500 |
So nutzen Sie den Rechner
Wählen Sie, ob Sie einen Mittelwert oder einen Anteil schätzen. Für einen Mittelwert geben Sie Stichprobenmittelwert, Standardabweichung und Stichprobenumfang ein, für einen Anteil die Zahl der Treffer und den Stichprobenumfang. Wählen Sie das Konfidenzniveau – Intervall, Fehlermarge und Rechenweg erscheinen sofort.
Voraussetzungen
- Die Stichprobe ist zufällig und die Beobachtungen sind unabhängig.
- Für einen Mittelwert: Die Daten sind annähernd normalverteilt oder n ist groß genug (etwa 30 oder mehr) für den zentralen Grenzwertsatz.
- Für einen Anteil: Das Wald-Intervall braucht mindestens etwa 10 Treffer und 10 Nicht-Treffer; andernfalls verlassen Sie sich auf das Wilson-Intervall.
Häufig gestellte Fragen
Soll ich z oder t verwenden?
Verwenden Sie t immer dann, wenn Sie die Streuung aus der Stichprobe selbst schätzen (der Normalfall) – das Intervall wird dadurch breiter, um die zusätzliche Unsicherheit abzubilden, mit n − 1 Freiheitsgraden. z ist nur angebracht, wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit tatsächlich bekannt ist. Bei großen Stichproben sind beide fast identisch.
Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?
Würden Sie die Stichprobenziehung sehr oft wiederholen und jedes Mal ein Intervall berechnen, enthielten etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Wert der Grundgesamtheit. Es bedeutet nicht, dass dieses eine Intervall den Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält.
Wald oder Wilson für einen Anteil?
Das Wald-Intervall p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) ist die Lehrbuchformel, schneidet aber bei kleinen Stichproben oder Anteilen nahe 0 % oder 100 % schlecht ab – es kann sogar unter 0 fallen. Das Wilson-Intervall hat eine deutlich bessere Überdeckung und ist in diesen Fällen zu empfehlen.
Wie wird das Intervall schmaler?
Vergrößern Sie die Stichprobe (die Fehlermarge schrumpft mit √n, ein vierfaches n halbiert sie also), wählen Sie ein niedrigeres Konfidenzniveau oder verringern Sie die Streuung der Messwerte.
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