📉 Standardabweichung-Rechner
Fügen Sie Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche. Für jeden Wert werden Abweichung und Abweichungsquadrat aufgelistet – so können Sie die Rechnung nachvollziehen oder für die Hausaufgabe übernehmen.
Kurz gesagt: Für die Grundgesamtheit 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert 5, die Abweichungsquadrate summieren sich zu 32, die Varianz beträgt also 32 ÷ 8 = 4 und die Standardabweichung √4 = 2.
Noch keine Bewertungen · Aktualisiert am · Kostenlos · Ohne Anmeldung
Eingaben: Standardabweichung-Rechner
Ergebnis
Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)
2
- Varianz (σ²)
- 4
- Mittelwert
- 5
- Anzahl
- 8
- Quadratsumme
- 32
- Variationskoeffizient
- 40 %
Rechenweg
- Mittelwert: 40 ÷ 8 = 5
- Von jedem Wert den Mittelwert abziehen und das Ergebnis quadrieren (siehe Tabelle unten)
- Quadrate addieren: Σ(x − Mittelwert)² = 32
- Durch N = 8 teilen: Varianz = 32 ÷ 8 = 4
- Quadratwurzel ziehen: σ = √4 = 2
Abweichungen vom Mittelwert (5)
| # | x | x − Mittelwert | (x − Mittelwert)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −3 | 9 |
| 2 | 4 | −1 | 1 |
| 3 | 4 | −1 | 1 |
| 4 | 4 | −1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 7 | 2 | 4 |
| 8 | 9 | 4 | 16 |
Was die Standardabweichung misst
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte eines Datensatzes im Mittel von ihrem Mittelwert entfernt liegen. Ein kleiner Wert bedeutet, dass die Daten eng beieinander liegen, ein großer, dass sie stark streuen. Bei annähernd glockenförmig verteilten Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zwei.
Die Formeln
σ = √( Σ(x − μ)² ÷ N ) · s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
σ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit, s die der Stichprobe. Der einzige Unterschied ist der Nenner.
Schritt für Schritt
- Den Mittelwert der Daten bestimmen.
- Von jedem Wert den Mittelwert abziehen – das ergibt seine Abweichung.
- Jede Abweichung quadrieren, damit sich negative und positive Werte nicht aufheben.
- Die Quadrate addieren – das ist die Quadratsumme.
- Durch N (Grundgesamtheit) oder n − 1 (Stichprobe) teilen – das ist die Varianz.
- Die Quadratwurzel ziehen – das ist die Standardabweichung.
Rechenbeispiel
Daten: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (eine Grundgesamtheit aus 8 Werten). Der Mittelwert ist 40 ÷ 8 = 5.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 (×3) | −1 | je 1 |
| 5 (×2) | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Die Quadrate ergeben zusammen 32. Varianz der Grundgesamtheit = 32 ÷ 8 = 4, also σ = 2. Als Stichprobe betrachtet wäre die Varianz 32 ÷ 7 ≈ 4,571 und s ≈ 2,138.
Tipps
- Die Standardabweichung ist immer null oder positiv und hat dieselbe Einheit wie Ihre Daten.
- Sie reagiert empfindlich auf Ausreißer – ein einziger Extremwert kann sie deutlich erhöhen.
- Trennen Sie die Zahlen durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche und lassen Sie Tausendertrennzeichen weg; Dezimalzahlen schreiben Sie mit Punkt.
Häufig gestellte Fragen
Soll ich die Standardabweichung der Stichprobe oder der Grundgesamtheit verwenden?
Die der Grundgesamtheit (Division durch N), wenn Ihre Daten alle Mitglieder der betrachteten Gruppe umfassen, etwa alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse. Die der Stichprobe (Division durch n − 1), wenn die Daten eine Teilmenge sind, mit der Sie auf eine größere Gruppe schließen – in Forschung und Umfragen ist das der Normalfall.
Warum teilt die Stichprobenformel durch n − 1?
Die Werte einer Stichprobe liegen näher an ihrem eigenen Mittelwert als am wahren Mittelwert der Grundgesamtheit. Eine Division durch n würde die Streuung daher unterschätzen. Die Division durch n − 1 (Bessel-Korrektur) beseitigt diese Verzerrung der Varianz.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert, die Standardabweichung ihre Quadratwurzel. Die Standardabweichung ist leichter zu deuten, weil sie dieselbe Einheit hat wie die Daten.
Ab wann ist eine Standardabweichung hoch?
Das hängt von der Größenordnung der Daten ab. Setzen Sie sie mit dem Variationskoeffizienten (Standardabweichung ÷ Mittelwert) ins Verhältnis zum Mittelwert: Unter etwa 10 % liegen die Daten eng beieinander, über etwa 30 % streuen sie stark.
Wie gefällt Ihnen dieser Rechner?
Angezeigt wird nur die durchschnittliche Bewertung. Fehlermeldungen landen direkt in unserem Postfach, damit wir sie prüfen und korrigieren können. Mehr dazu in unserer Methodik und in unserer Datenschutzerklärung.