🎲 Permutations et combinaisons
Saisissez n et r pour dénombrer les tirages ordonnés et non ordonnés, avec et sans répétition, en arithmétique entière exacte pour que les grands résultats ne soient pas arrondis.
Réponse rapide : nPr = n! ÷ (n − r)! et nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Pour n = 10 et r = 3, nPr = 720 et nCr = 120.
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Données : Permutations et combinaisons
Résultat
Combinaisons C(10, 3)
120
l’ordre ne compte pas
| Permutations P(10, 3) : l’ordre compte | 720 |
| Combinaisons C(10, 3) : l’ordre ne compte pas | 120 |
| Permutations avec répétition (10^3) | 1 000 |
| Combinaisons avec répétition | 220 |
| 10! (factorielle de n) | 3 628 800 |
Permutations et combinaisons
Utilisez une permutation quand l’ordre des éléments choisis compte, et une combinaison quand il ne compte pas. Les deux partent de la factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 1.
nPr = n! ÷ (n − r)! · nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)
Exemple : choisir 3 éléments parmi 10. nPr = 10 × 9 × 8 = 720. nCr = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120.
Laquelle choisir ?
| Situation | À utiliser |
|---|---|
| Or, argent et bronze parmi 10 coureurs | Permutation (720) |
| Une équipe de 3 parmi 10 personnes | Combinaison (120) |
| Code à 3 chiffres de 0 à 9, répétitions permises | nr = 1 000 |
| 3 boules de glace parmi 10 parfums, répétitions permises | C(n + r − 1, r) = 220 |
Conseils
- Par définition, 0! = 1, donc C(n, 0) = C(n, n) = 1.
- Sans répétition, r ne peut pas dépasser n.
- Les résultats sont exacts ; les très grands nombres s’affichent en notation scientifique.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?
Une permutation (ou arrangement) compte les dispositions où l’ordre compte (un podium) ; une combinaison compte les choix où il ne compte pas (un comité). Chaque combinaison donne r! permutations.
De combien de façons peut-on aligner 5 personnes ?
De 5P5 = 5! = 120 façons.
Que signifie nCr = nC(n−r) ?
Choisir r éléments à garder revient à choisir les n − r éléments à laisser : C(10, 3) et C(10, 7) valent donc tous deux 120.
Comment calcule-t-on les chances au loto ?
Si l’on choisit 6 numéros parmi 49, il existe C(49, 6) = 13 983 816 grilles possibles : une grille a donc 1 chance sur 13 983 816.
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