🔺 Calculateur de triangle
Indiquez ce que vous savez (les côtés a, b, c et les angles opposés A, B, C) : les valeurs manquantes sont calculées avec la loi des sinus ou des cosinus, chaque étape étant détaillée.
Réponse rapide : Un triangle de côtés 3, 4 et 5 a des angles de 36,87°, 53,13° et 90°, une aire de 6 et un périmètre de 12 : c’est un triangle rectangle quelconque.
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Données : Calculateur de triangle
Résultat
Triangle résolu (rectangle quelconque)
A = 36,87°, B = 53,13°, C = 90°
Côtés 3 ; 4 ; 5
- Aire
- 6
- Périmètre
- 12
- Nature
- Rectangle quelconque
| Côtés a, b et c | 3 ; 4 ; 5 |
| Angles A, B et C | 36,8699° ; 53,1301° ; 90° |
| Angles en radians | 0,6435 ; 0,9273 ; 1,5708 |
| Hauteurs hₐ, h_b et h_c | 4 ; 3 ; 2,4 |
| Demi-périmètre s | 6 |
| Rayon du cercle inscrit r = aire ÷ s | 1 |
| Rayon du cercle circonscrit R = a ÷ (2 sin A) | 2,5 |
Calcul détaillé
- Loi des cosinus : A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc) = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = 36,8699°
- B = arccos((a² + c² − b²) ÷ 2ac) = 53,1301°
- C = 180° − A − B = 90°
- Aire (formule de Héron) : √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Périmètre : 3 + 4 + 5 = 12
Comment résoudre un triangle
Notez a, b et c les côtés, et A, B et C les angles qui leur sont opposés. Choisissez le cas qui correspond à ce que vous savez et saisissez trois valeurs ; le calculateur trouve le reste.
Loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab·cos C · Loi des sinus : a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C
| Données connues | Méthode |
|---|---|
| CCC – trois côtés | Loi des cosinus pour chaque angle |
| CAC – deux côtés et l’angle compris | Loi des cosinus pour le troisième côté, puis les angles |
| ACA / AAC – deux angles et un côté | Troisième angle = 180° − A − B, puis loi des sinus |
| CCA – deux côtés et un angle non compris | Loi des sinus ; 0, 1 ou 2 solutions possibles |
Exemple détaillé (CCC)
Côtés 3, 4 et 5 :
- A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = arccos(0,8) = 36,87°.
- B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5)) = arccos(0,6) = 53,13°.
- C = 180° − 36,87° − 53,13° = 90° : le triangle est rectangle.
- s = 6, donc l’aire = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, et le périmètre vaut 12.
Classer les triangles
- Selon les côtés : équilatéral (trois côtés égaux), isocèle (deux côtés égaux), quelconque (aucun côté égal).
- Selon les angles : acutangle (tous inférieurs à 90°), rectangle (un angle de 90° exactement), obtusangle (un angle supérieur à 90°).
Vérifications
- La somme des trois angles vaut toujours 180°.
- Inégalité triangulaire : la somme de deux côtés quelconques doit dépasser le troisième, si bien que 2, 3 et 6 est impossible.
- Le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle.
Questions fréquentes
Que signifient CCC, CAC, ACA, AAC et CCA ?
Ces sigles indiquent les trois mesures connues, dans l’ordre où elles se suivent autour du triangle : C désigne un côté et A un angle. CAC signifie deux côtés et l’angle compris entre eux ; AAC, deux angles et un côté qui n’est pas entre eux. Chacun de ces cas détermine le triangle, sauf CCA, qui peut donner zéro, un ou deux triangles.
Pourquoi le cas CCA peut-il donner deux triangles ?
Avec deux côtés et un angle qui n’est pas compris entre eux, le troisième sommet peut parfois se placer à deux endroits. La loi des sinus donne sin B, et B comme 180° − B peuvent convenir. C’est le « cas ambigu » ; le calculateur affiche les deux triangles lorsqu’ils existent.
Pourquoi ne peut-on pas résoudre un triangle avec ses trois angles ?
Les trois angles fixent la forme, mais pas la taille : tout agrandissement ou réduction a les mêmes angles. Il faut connaître au moins un côté.
Comment l’aire est-elle calculée ?
Une fois les trois côtés connus, le calculateur applique la formule de Héron : aire = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), où s est le demi-périmètre. Les formules ½ab·sin C et ½ × base × hauteur donnent le même résultat.
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