📊 Calculateur d’intervalle de confiance
Saisissez la moyenne et l’écart type d’un échantillon, ou un nombre de succès, et obtenez l’intervalle, la marge d’erreur et la valeur critique sur laquelle il repose.
Réponse rapide : Pour une moyenne d’échantillon de 50 avec s = 8 et n = 25, l’intervalle de confiance à 95 % vaut 50 ± 2,0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3,3022, soit de 46,6978 à 53,3022.
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Données : Calculateur d’intervalle de confiance
Résultat
Intervalle de confiance à 95 % de la moyenne
de 46,6978 à 53,3022
50 ± 3,3022
- Marge d’erreur
- ±3,3022
- Valeur critique t* (ddl = 24)
- 2,0639
- Erreur type
- 1,6
Calcul détaillé
- Valeur critique pour un niveau de confiance de 95 % : t* (ddl = 24) = 2,0639
- Erreur type : s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1,6
- Marge d’erreur : 2,0639 × 1,6 = 3,302238
- Intervalle : 50 ± 3,3022 = [46,6978 ; 53,3022]
La vraie moyenne de la population se situe entre 46,6978 et 53,3022 avec un niveau de confiance de 95 %.
Les mêmes données à d’autres niveaux de confiance
| Confiance | Valeur critique | Marge d’erreur | Intervalle |
|---|---|---|---|
| 80 % | 1,3178 | ±2,1085 | de 47,8915 à 52,1085 |
| 85 % | 1,4871 | ±2,3794 | de 47,6206 à 52,3794 |
| 90 % | 1,7109 | ±2,7374 | de 47,2626 à 52,7374 |
| 95 % | 2,0639 | ±3,3022 | de 46,6978 à 53,3022 |
| 98 % | 2,4922 | ±3,9875 | de 46,0125 à 53,9875 |
| 99 % | 2,7969 | ±4,4751 | de 45,5249 à 54,4751 |
| 99,9 % | 3,7454 | ±5,9926 | de 44,0074 à 55,9926 |
Formules de l’intervalle de confiance
Moyenne : x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · Proportion : p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
Le terme après ± est la marge d’erreur : la valeur critique multipliée par l’erreur type.
Exemple chiffré
Un échantillon de 25 observations a une moyenne de 50 et un écart type de 8. On cherche l’intervalle à 95 % pour la moyenne de la population.
- σ est inconnu : on utilise t avec 25 − 1 = 24 degrés de liberté, soit t* = 2,0639.
- Erreur type = 8 ÷ √25 = 1,6.
- Marge d’erreur = 2,0639 × 1,6 = 3,3022.
- Intervalle = 50 ± 3,3022 = de 46,6978 à 53,3022.
Avec z au lieu de t (1,96 × 1,6 = 3,136), l’intervalle serait un peu plus étroit : c’est pourquoi utiliser z sur un petit échantillon surestime votre précision.
Valeurs critiques
| Confiance | z* | t* (ddl = 10) | t* (ddl = 30) |
|---|---|---|---|
| 80 % | 1,2816 | 1,3722 | 1,3104 |
| 90 % | 1,6449 | 1,8125 | 1,6973 |
| 95 % | 1,9600 | 2,2281 | 2,0423 |
| 98 % | 2,3263 | 2,7638 | 2,4573 |
| 99 % | 2,5758 | 3,1693 | 2,7500 |
Utiliser le calculateur
Indiquez si vous estimez une moyenne ou une proportion. Pour une moyenne, saisissez la moyenne de l’échantillon, l’écart type et la taille de l’échantillon ; pour une proportion, le nombre de succès et la taille de l’échantillon. Choisissez le niveau de confiance : l’intervalle, la marge d’erreur et le détail du calcul s’affichent aussitôt.
Conditions d’application
- L’échantillon est aléatoire et les observations sont indépendantes.
- Pour une moyenne : les données suivent à peu près une loi normale, ou n est assez grand (environ 30 ou plus) pour que le théorème central limite s’applique.
- Pour une proportion : l’intervalle de Wald demande au moins une dizaine de succès et une dizaine d’échecs ; sinon, fiez-vous à l’intervalle de Wilson.
Questions fréquentes
Faut-il utiliser z ou t ?
Utilisez t dès que la dispersion est estimée à partir de l’échantillon lui-même, ce qui est le cas le plus courant : la loi de Student à n − 1 degrés de liberté élargit l’intervalle pour tenir compte de cette incertitude supplémentaire. Réservez z au cas où l’écart type de la population σ est réellement connu. Pour de grands échantillons, les deux donnent presque le même résultat.
Que signifie un intervalle de confiance à 95 % ?
Si l’on répétait l’échantillonnage un grand nombre de fois en construisant chaque fois un intervalle, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie valeur de la population. Cela ne veut pas dire que cet intervalle précis a 95 % de chances de la contenir.
Wald ou Wilson pour une proportion ?
L’intervalle de Wald p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) est la formule des manuels, mais il se comporte mal pour les petits échantillons ou les proportions proches de 0 % ou de 100 % : il peut même descendre sous 0. L’intervalle de Wilson offre une bien meilleure couverture et il est recommandé dans ces cas-là.
Comment réduire la largeur de l’intervalle ?
Augmentez la taille de l’échantillon (la marge diminue avec √n : quadrupler n la divise par deux), acceptez un niveau de confiance plus faible ou réduisez la variabilité des mesures.
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