√ Calcul de racine carrée
Saisissez un nombre et l’indice de la racine (2 pour la racine carrée, 3 pour la racine cubique). Pour les nombres entiers, vous obtenez aussi la forme simplifiée du radical, établie à partir de la décomposition en facteurs premiers.
Réponse rapide : √72 = 6√2 ≈ 8,4852813742, car 72 = 36 × 2 et √36 = 6. Vérification : 8,4852813742² ≈ 72.
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Données : Calcul de racine carrée
Résultat
Racine carrée
√72 ≈ 8,4852813742
Forme simplifiée : √72 = 6√2
- Résultat
- 8,4852813742
- Radical simplifié
- 6√2
- Puissance parfaite ?
- Non
Calcul détaillé
- Décomposition en facteurs premiers : 72 = 2³ × 3²
- On sort de la racine chaque paire de facteurs identiques : √72 = 6√2
- √72 ≈ 8,4852813742
- Vérification : 8,4852813742² ≈ 72
Qu’est-ce qu’une racine carrée ?
La racine carrée de x est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne x. Plus généralement, la racine n-ième de x est le nombre qui, élevé à la puissance n, donne x.
√x = x^(1/2) · ⁿ√x = x^(1/n) · √(a × b) = √a × √b
Simplifier un radical
Pour écrire une racine carrée sous sa forme la plus simple, décomposez le nombre en un carré parfait multiplié par ce qui reste :
- Décomposez en facteurs premiers : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².
- Regroupez les facteurs identiques par paires : (2 × 2) et (3 × 3), il reste un 2.
- Chaque paire sort de la racine sous la forme d’un seul facteur : 2 × 3 = 6.
- Résultat : √72 = 6√2 ≈ 8,4852813742.
Pour les racines cubiques, on regroupe les facteurs identiques par trois au lieu de deux : ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2.
Carrés et cubes parfaits
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1000 |
| 12 | 144 | 1728 |
Estimer une racine de tête
Encadrez le nombre entre deux carrés parfaits. √50 se situe entre √49 = 7 et √64 = 8, bien plus près de 7 : le résultat est donc un peu plus de 7 (exactement 7,0710678…). Connaître les carrés jusqu’à 15² accélère beaucoup le calcul.
Conseils
- Les racines d’indice pair (carrée, quatrième…) des nombres négatifs ne sont pas réelles ; les racines d’indice impar des nombres négatifs sont négatives.
- Vérifiez toute racine en élevant le résultat à la puissance n : le calculateur affiche cette vérification.
- Les radicaux simplifiés sont exacts : privilégiez-les dans les réponses d’algèbre et de géométrie.
Questions fréquentes
Comment simplifier une racine carrée ?
Décomposez le nombre et sortez de la racine les facteurs qui sont des carrés parfaits. 72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2. Avec la décomposition en facteurs premiers 2³ × 3², chaque paire de facteurs identiques sort sous la forme d’un seul facteur.
Peut-on calculer la racine carrée d’un nombre négatif ?
Pas dans les nombres réels : aucun réel élevé au carré ne donne un résultat négatif. Dans les nombres complexes, √−4 = 2i, où i = √−1. Les racines d’indice impar des nombres négatifs existent bien : la racine cubique de −27 est −3.
Qu’est-ce qu’un carré parfait ?
Un nombre entier dont la racine carrée est aussi un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc. Leurs racines sont exactes ; tout autre entier positif a une racine carrée irrationnelle.
Comment calculer une racine cubique ou une racine quatrième ?
Mettez 3 dans le champ Indice de la racine pour une racine cubique, 4 pour une racine quatrième, et ainsi de suite. La racine n-ième de x est le nombre qui, multiplié n fois par lui-même, donne x : ∛125 = 5 car 5 × 5 × 5 = 125.
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