ⁿ Calculatrice de puissances
Saisissez une base et un exposant, par exemple 3, −2, 0,5 ou 2/3, ou passez en mode racine n-ième. Le calcul détaillé indique la propriété des puissances appliquée, et les puissances entières sont données sous forme d’entier exact.
Réponse rapide : 8^(2/3) signifie prendre la racine cubique de 8 puis l’élever au carré : (∛8)² = 2² = 4. Un exposant négatif donne l’inverse : 8^(−2/3) = 1/4 = 0,25.
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Données : Calculatrice de puissances
Résultat
8^(2/3) =
4
- Notation scientifique
- 4 × 10⁰
- log₁₀ du résultat
- 0,60206
Calcul détaillé
- Exposant fractionnaire 2/3 : prenez la racine cubique, puis élevez le résultat à la puissance 2
- ∛8 = 2
- 2² = 4
- Avec un exposant décimal : 8^0,66666667 = 4
Propriétés des puissances
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Puissance d’un produit | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 5)³ = 8 × 125 = 1 000 |
| Exposant nul | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Exposant fractionnaire | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = (∛8)² = 4 |
Puissances de 8
| Puissance | Valeur |
|---|---|
| 8⁻³ | 0,001953125 |
| 8⁻² | 0,015625 |
| 8⁻¹ | 0,125 |
| 8⁰ | 1 |
| 8¹ | 8 |
| 8² | 64 |
| 8³ | 512 |
| 8⁴ | 4 096 |
| 8⁵ | 32 768 |
| 8¹⁰ | 1 073 741 824 |
Ce que signifie un exposant
L’exposant indique combien de fois on multiplie la base par elle-même : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Les propriétés ci-dessous étendent cette définition aux exposants nuls, négatifs et fractionnaires.
aⁿ = a × a × … × a (n fois) · a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Exemple détaillé
Calculons 8^(2/3) :
- Le dénominateur 3 indique une racine cubique : ∛8 = 2.
- Le numérateur 2 indique qu’on élève au carré : 2² = 4.
- Donc 8^(2/3) = 4. Avec un exposant négatif, 8^(−2/3) = 1 ÷ 4 = 0,25.
Les propriétés des puissances
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit de puissances | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| Quotient de puissances | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| Exposant nul | a⁰ = 1 |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
Utiliser la calculatrice
Saisissez la base et l’exposant. L’exposant peut être un entier (3), un nombre négatif (−2), un décimal (0,5) ou une fraction (2/3). Pour les racines, choisissez « Racine n-ième » et indiquez le nombre et l’indice de la racine. Le calcul détaillé montre comment chaque propriété s’applique.
Les racines sont des puissances
Toute racine est une puissance fractionnaire : √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3) et la racine n-ième vaut x^(1/n). Choisissez « Racine n-ième » ci-dessus pour trouver, par exemple, la racine 5e de 32 (= 2). Les racines d’indice impair des nombres négatifs sont réelles ; celles d’indice pair ne le sont pas.
Très grands résultats
Lorsque la base et l’exposant sont des entiers, la calculatrice donne aussi l’entier exact, quel que soit son nombre de chiffres – 2^100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 – au lieu de l’arrondir en notation scientifique.
Questions fréquentes
Que signifie un exposant négatif ?
Un exposant négatif désigne l’inverse de la puissance positive : a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Ainsi, 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125. Le résultat, lui, ne devient pas négatif.
Comment fonctionnent les exposants fractionnaires ?
Le dénominateur indique une racine et le numérateur une puissance : a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. Ainsi 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, et 16^(1/2) n’est autre que √16 = 4.
Pourquoi tout nombre à la puissance 0 vaut-il 1 ?
Diviser des puissances revient à soustraire les exposants : aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, et tout nombre divisé par lui-même vaut 1. Le cas 0⁰ n’est pas défini ici, même si de nombreux domaines lui attribuent la valeur 1 par convention.
Un nombre négatif peut-il avoir un exposant fractionnaire ?
Seulement si la racine est d’indice impair. (−8)^(1/3) = −2 car ∛(−8) = −2, mais (−4)^(1/2) = √(−4) n’a pas de valeur réelle : c’est le nombre imaginaire 2i.
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