📈 Calculateur de logarithme
Choisissez la base 10, e ou 2, ou saisissez votre propre base. Pour toute base autre que e, le résultat détaille l’étape ln(x) ÷ ln(b) pour que vous puissiez la vérifier sur une simple calculatrice scientifique.
Réponse rapide : log₁₀(1000) = 3, car 10³ = 1000. Son logarithme népérien vaut ln(1000) ≈ 6,907755279, et n’importe quelle base s’obtient avec la formule de changement de base logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b).
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Données : Calculateur de logarithme
Résultat
log₁₀(1 000)
= 3
car 10^3 = 1 000
- log₁₀(x)
- 3
- ln(x)
- 6,907755279
- log₂(x)
- 9,9657842847
Calcul détaillé
- Définition : log₁₀(1 000) = y signifie que 10^y = 1 000
- Changement de base : log₁₀(1 000) = ln(1 000) ÷ ln(10) = 6,907755279 ÷ 2,302585093 = 3
- Vérification : 10^3 = 1 000
Ce que signifie un logarithme
Le logarithme est l’opération inverse de la puissance. Si b élevé à la puissance y donne x, alors y est le logarithme de x en base b :
logᵦ(x) = y ⇔ bʸ = x · logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b)
La seconde formule, dite de changement de base, permet de calculer un logarithme dans n’importe quelle base à l’aide des seuls logarithmes népériens (ou décimaux).
Les trois bases usuelles
| Base | Notation | Usage courant |
|---|---|---|
| 10 | log ou log₁₀ | pH, décibels, échelle de Richter, ordres de grandeur |
| e ≈ 2,71828 | ln | croissance continue, analyse, intérêts composés |
| 2 | log₂ ou lb | informatique, bits, divisions et doublements successifs |
Exemple détaillé
log₁₀(1000) = 3, car 10 × 10 × 10 = 1000. Pour une base personnalisée, prenons log₃(81) : ln 81 ≈ 4,394449 et ln 3 ≈ 1,098612 ; la division donne exactement 4, et l’on a bien 3⁴ = 81.
Propriétés des logarithmes
- Produit : log(ab) = log a + log b
- Quotient : log(a ÷ b) = log a − log b
- Puissance : log(aⁿ) = n × log a
- Valeurs particulières : logᵦ(1) = 0 et logᵦ(b) = 1 pour toute base valide
Conseils
- Le nombre doit être strictement positif, et la base positive et différente de 1.
- Le logarithme d’un nombre compris entre 0 et 1 est négatif : log₁₀(0,01) = −2.
- Pour résoudre bˣ = y, passez aux logarithmes : x = ln(y) ÷ ln(b). C’est pratique pour répondre à « en combien de temps mon épargne doublera-t-elle ? ».
- Chaque unité de logarithme décimal correspond à un facteur 10 : voilà pourquoi un séisme de magnitude 6 a une amplitude d’onde dix fois supérieure à celle d’un séisme de magnitude 5.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un logarithme ?
Un logarithme répond à la question « à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? ». log₂(8) = 3, car 2³ = 8. Les logarithmes transforment les multiplications en additions, d’où leur présence en sciences, en finance et en informatique.
Quelle différence entre log et ln ?
« log » désigne le plus souvent la base 10 (logarithme décimal), tandis que « ln » est le logarithme népérien, de base e ≈ 2,718281828. Dans de nombreux langages de programmation et ouvrages de mathématiques avancées, log signifie pourtant ln : fiez-vous au contexte.
Comment calculer un logarithme dans une autre base ?
Appliquez la formule de changement de base : logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b) (ou log(x) ÷ log(b)). Par exemple, log₃(81) = ln 81 ÷ ln 3 = 4,394449 ÷ 1,098612 = 4.
Pourquoi ne peut-on pas calculer le logarithme de zéro ou d’un nombre négatif ?
Une base positive élevée à une puissance réelle donne toujours un résultat positif : aucun exposant ne produit 0 ni un nombre négatif. Le logarithme n’y est donc pas défini, et quand x tend vers 0, il tend vers moins l’infini.
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