🔍 Test de nombre premier
Saisissez un nombre entier pour savoir s’il est premier. S’il ne l’est pas, vous obtenez sa décomposition en facteurs premiers ; dans tous les cas, vous voyez aussi les nombres premiers juste avant et juste après.
Réponse rapide : 97 est premier : aucun nombre entier de 2 à 9 (√97 ≈ 9,8489) ne le divise exactement. En revanche, 91 n’est pas premier, car 91 = 7 × 13.
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Données : Test de nombre premier
Résultat
Est-il premier ?
97 est un nombre premier
Ses seuls diviseurs sont 1 et 97.
- Plus petit facteur premier
- 97
- Décomposition en facteurs premiers
- 97
- Nombre de diviseurs
- 2
- Nombre premier précédent
- 89
- Nombre premier suivant
- 101
Calcul détaillé
- √97 ≈ 9,8489 : il suffit de tester les diviseurs jusqu’à 9
- Aucun entier de 2 à 9 ne divise exactement 97 : il est donc premier
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Les nombres qui ont davantage de diviseurs sont composés. 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés.
n est premier ⇔ n > 1 et aucun entier d tel que 2 ≤ d ≤ √n ne divise n
Pourquoi s’arrêter à la racine carrée ?
Si n = a × b, a et b ne peuvent pas être tous deux supérieurs à √n : leur produit serait trop grand. Tout nombre composé a donc un diviseur inférieur ou égal à sa racine carrée, et la recherche peut s’arrêter là.
Exemples chiffrés
- 97 : √97 ≈ 9,85. On teste 2, 3, 5 et 7 ; aucun ne divise 97, il est donc premier.
- 91 : √91 ≈ 9,54. 91 ÷ 7 = 13 exactement, donc 91 = 7 × 13 est composé. C’est le piège classique du nombre qui « a l’air premier ».
- 360 : on divise trois fois par 2, deux fois par 3 et une fois par 5 : 360 = 2³ × 3² × 5, avec (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 diviseurs.
Les premiers nombres premiers
| Intervalle | Nombres premiers |
|---|---|
| 1–25 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 |
| 26–50 | 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51–100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, et une infinité au total, comme l’a démontré Euclide il y a plus de 2 000 ans.
Critères de divisibilité rapides
- 2 : le dernier chiffre est pair.
- 3 : la somme des chiffres est divisible par 3.
- 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
- 11 : la somme alternée des chiffres est divisible par 11.
L’outil traite exactement tout nombre entier jusqu’à mille milliards, par divisions successives par 2, par 3 et par les nombres de la forme 6k ± 1.
Questions fréquentes
1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même, et 1 n’en a qu’un. Exclure 1 garantit aussi l’unicité de la décomposition en facteurs premiers : sinon, on pourrait écrire 6 = 2 × 3 × 1 × 1 × …
2 est-il le seul nombre premier pair ?
Oui. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et ont donc au moins trois diviseurs (1, 2 et eux-mêmes). C’est pourquoi 2 est à la fois le plus petit nombre premier et le seul qui soit pair.
Comment vérifier si un grand nombre est premier ?
On teste la divisibilité par les nombres premiers jusqu’à sa racine carrée : si aucun ne le divise, il est premier. Pour 1 000 000 007, il faut tester les diviseurs jusqu’à environ 31 623, ce que l’outil fait en une fraction de seconde.
Qu’est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
C’est l’écriture d’un nombre sous forme de produit de nombres premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. Tout entier supérieur à 1 a une seule décomposition en facteurs premiers (théorème fondamental de l’arithmétique).
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