🔢 Calculateur de PPCM et PGCD
Saisissez deux nombres entiers ou plus, séparés par des virgules ou des espaces. Chacun est décomposé en puissances de nombres premiers : vous voyez quels facteurs fixent le plus grand commun diviseur et lesquels fixent le plus petit commun multiple.
Réponse rapide : Pour 12, 18 et 30, le PGCD vaut 6 et le PPCM 180 : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² et 30 = 2 × 3 × 5, donc PGCD = 2 × 3 et PPCM = 2² × 3² × 5.
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Données : Calculateur de PPCM et PGCD
Résultat
PGCD et PPCM de 12, 18 et 30
PGCD = 6 · PPCM = 180
- Plus grand commun diviseur (PGCD)
- 6
- Plus petit commun multiple (PPCM)
- 180
- Premiers entre eux ?
- Non
Calcul détaillé
- Écrivez chaque nombre comme un produit de puissances de nombres premiers (voir le tableau)
- PGCD : prenez chaque facteur premier présent dans tous les nombres, à son plus petit exposant : 2 × 3 = 6
- PPCM : prenez tous les facteurs premiers présents dans au moins un nombre, à leur plus grand exposant : 2² × 3² × 5 = 180
Décompositions en facteurs premiers
| Nombre | Facteurs premiers |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
Définitions
Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand nombre qui divise exactement chaque nombre de la liste. Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre positif divisible exactement par chaque nombre de la liste.
La méthode de la décomposition en facteurs premiers
Décomposez chaque nombre en puissances de nombres premiers. Ensuite :
PGCD = produit des facteurs communs à leur plus petit exposant · PPCM = produit de tous les facteurs à leur plus grand exposant
Exemple détaillé : 12, 18 et 30
| Nombre | Facteurs premiers |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- Facteurs présents dans les trois : 2 et 3, aux plus petits exposants 2¹ et 3¹ → PGCD = 6.
- Tous les facteurs à leur plus grand exposant : 2², 3², 5 → PPCM = 4 × 9 × 5 = 180.
L’algorithme d’Euclide
Pour deux grands nombres, la méthode d’Euclide est plus rapide que la décomposition : remplacez le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, jusqu’à obtenir un reste nul. Pour 48 et 18 : 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, donc PGCD = 6. Puis PPCM = 48 × 18 ÷ 6 = 144.
À quoi ils servent
- Fractions : le PGCD simplifie une fraction ; le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun.
- Carrelage et découpe : le PGCD donne le plus grand carreau carré qui recouvre exactement un rectangle.
- Cycles : le PPCM indique quand des événements répétés coïncident à nouveau.
Conseils
- Le PGCD ne peut jamais dépasser le plus petit des nombres ; le PPCM ne peut jamais être inférieur au plus grand.
- Le calculateur accepte jusqu’à 20 nombres entiers positifs, chacun jusqu’à mille milliards, et calcule le PPCM exactement, même s’il est immense.
Questions fréquentes
PGCD et plus grand facteur commun, est-ce la même chose ?
Oui. Plus grand commun diviseur (PGCD) et plus grand facteur commun désignent le plus grand nombre entier qui divise tous les nombres donnés sans reste.
À quoi sert le PPCM ?
Le plus petit commun multiple donne le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions et résout les problèmes de cycles : si un bus passe toutes les 12 minutes et un autre toutes les 18, ils se croisent toutes les PPCM(12, 18) = 36 minutes.
Existe-t-il une formule rapide entre PPCM et PGCD ?
Pour deux nombres, PPCM(a, b) × PGCD(a, b) = a × b. Ainsi, PPCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36. Ce raccourci ne s’applique pas directement à trois nombres ou plus.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Que les nombres sont premiers entre eux : ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1, comme 8 et 15. Leur PPCM est alors simplement leur produit, 120.
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