📉 Calcul d’écart type
Collez vos nombres séparés par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne. L’écart de chaque valeur et son carré sont affichés : vous pouvez suivre le calcul ou le recopier dans un exercice.
Réponse rapide : Pour la population 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9, la moyenne vaut 5 et la somme des carrés des écarts 32 : la variance est donc 32 ÷ 8 = 4 et l’écart type √4 = 2.
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Données : Calcul d’écart type
Résultat
Écart type de la population (σ)
2
- Variance (σ²)
- 4
- Moyenne
- 5
- Effectif
- 8
- Somme des carrés
- 32
- Coefficient de variation
- 40 %
Calcul détaillé
- Moyenne : 40 ÷ 8 = 5
- On soustrait la moyenne de chaque valeur et on élève le résultat au carré (voir le tableau ci-dessous)
- On additionne les carrés : Σ(x − moyenne)² = 32
- On divise par N = 8 : variance = 32 ÷ 8 = 4
- On prend la racine carrée : σ = √4 = 2
Écarts à la moyenne (5)
| # | x | x − moyenne | (x − moyenne)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −3 | 9 |
| 2 | 4 | −1 | 1 |
| 3 | 4 | −1 | 1 |
| 4 | 4 | −1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 7 | 2 | 4 |
| 8 | 9 | 4 | 16 |
Ce que mesure l’écart type
L’écart type indique de combien les valeurs d’une série s’éloignent en moyenne de leur moyenne. Un petit écart type signifie que les données sont très regroupées ; un grand, qu’elles sont dispersées. Pour des données en forme de cloche, environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne et environ 95 % à moins de deux.
Les formules
σ = √( Σ(x − μ)² ÷ N ) · s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
σ désigne l’écart type de la population et s celui de l’échantillon. Seul le diviseur change.
Étape par étape
- Calculez la moyenne des données.
- Soustrayez la moyenne de chaque valeur pour obtenir son écart.
- Élevez chaque écart au carré, pour que les écarts négatifs n’annulent pas les positifs.
- Additionnez les carrés : c’est la somme des carrés des écarts.
- Divisez par N (population) ou par n − 1 (échantillon) : c’est la variance.
- Prenez la racine carrée pour obtenir l’écart type.
Exemple détaillé
Données : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 (une population de 8 valeurs). La moyenne vaut 40 ÷ 8 = 5.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 (×3) | −1 | 1 chacun |
| 5 (×2) | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
La somme des carrés est 32. La variance de la population vaut 32 ÷ 8 = 4, donc σ = 2. Si les données formaient un échantillon, la variance serait 32 ÷ 7 ≈ 4,571 et s ≈ 2,138.
Conseils
- L’écart type est toujours nul ou positif et s’exprime dans la même unité que les données.
- Il est sensible aux valeurs aberrantes : une seule valeur extrême peut le gonfler fortement.
- Collez les nombres séparés par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne, avec un point décimal (2.5) et sans séparateur de milliers.
Questions fréquentes
Faut-il utiliser l’écart type de l’échantillon ou de la population ?
Utilisez celui de la population (division par N) lorsque vos données couvrent tous les membres du groupe étudié, par exemple tous les élèves d’une classe. Utilisez celui de l’échantillon (division par n − 1) lorsque les données sont un sous-ensemble servant à estimer un groupe plus large : c’est le cas le plus courant dans les études et les sondages.
Pourquoi la formule de l’échantillon divise-t-elle par n − 1 ?
Les valeurs d’un échantillon sont plus proches de leur propre moyenne que de la vraie moyenne de la population : diviser par n sous-estimerait donc la dispersion. Diviser par n − 1 (correction de Bessel) supprime ce biais de la variance.
Quelle est la différence entre la variance et l’écart type ?
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l’écart type est sa racine carrée. L’écart type est plus facile à interpréter, car il s’exprime dans la même unité que les données.
À partir de quand un écart type est-il élevé ?
Cela dépend de l’échelle des données. Comparez-le à la moyenne grâce au coefficient de variation (écart type ÷ moyenne) : en dessous d’environ 10 %, les données sont très regroupées ; au-delà d’environ 30 %, elles sont très dispersées.
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