📐 Calculateur d’équation du second degré
Saisissez les coefficients a, b et c. Le discriminant indique quel type de racines attendre, et le calcul détaillé montre comment la formule y conduit.
Réponse rapide : Pour x² − 3x + 2 = 0, le discriminant vaut (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1, donc la formule donne x = (3 ± 1) ÷ 2 : les racines sont x = 2 et x = 1, et le sommet est (1,5 ; −0,25).
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Données : Calculateur d’équation du second degré
Résultat
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2 ; x₂ = 1
Deux racines réelles distinctes (discriminant > 0)
- Discriminant (b² − 4ac)
- 1
- Sommet
- (1,5 ; −0,25)
- Axe de symétrie
- x = 1,5
| Orientation de la parabole | Vers le haut (minimum au sommet) |
| Ordonnée à l’origine | (0 ; 2) |
| Somme des racines (−b/a) | 3 |
| Produit des racines (c/a) | 2 |
Calcul détaillé
- On identifie les coefficients : a = 1 ; b = −3 ; c = 2
- Discriminant : D = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- Formule : x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- Racines : x₁ = 2 ; x₂ = 1
- Sommet : x = −b ÷ 2a = 1,5 ; y = c − b² ÷ 4a = −0,25
La formule du second degré
Toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 se résout avec une seule formule :
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
L’expression sous la racine, D = b² − 4ac, est le discriminant. Il indique quel type de solutions vous allez obtenir avant même de terminer le calcul.
| Discriminant | Racines | Courbe |
|---|---|---|
| D > 0 | Deux racines réelles distinctes | Coupe l’axe des abscisses deux fois |
| D = 0 | Une racine réelle double | Touche l’axe des abscisses au sommet |
| D < 0 | Deux racines complexes conjuguées | Ne rencontre jamais l’axe des abscisses |
Exemple résolu
Résolvons x² − 3x + 2 = 0. Ici, a = 1, b = −3 et c = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 et x₂ = 2 ÷ 2 = 1.
Vérification par factorisation : x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Le sommet se trouve à mi-chemin entre les racines, en x = 1,5, où y = −0,25.
Sommet et symétrie
La parabole y = ax² + bx + c change de sens en x = −b ÷ 2a. En remplaçant x par cette valeur, on obtient l’ordonnée c − b² ÷ 4a. La somme des racines vaut toujours −b/a et leur produit c/a : un moyen rapide de vérifier vos résultats.
Conseils
- Réorganisez l’équation pour qu’un des membres soit nul avant de lire a, b et c.
- Attention aux signes : si l’équation contient « − 5x », alors b = −5.
- Essayez d’abord de factoriser quand les nombres sont petits ; sinon, utilisez la formule.
- Le calculateur emploie une forme numériquement stable de la formule : il reste précis même quand b² est bien plus grand que 4ac.
Questions fréquentes
Que nous apprend le discriminant ?
Le discriminant D = b² − 4ac détermine le type de racines. Si D > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si D = 0, une racine réelle double ; et si D < 0, deux racines complexes conjuguées, la parabole ne coupant jamais l’axe des abscisses.
Comment saisir une équation comme 2x² = 8 ?
Ramenez d’abord tous les termes du même côté pour obtenir 2x² − 8 = 0. On a alors a = 2, b = 0 et c = −8, et les racines sont x = 2 et x = −2.
Que sont les racines complexes ?
Quand le discriminant est négatif, sa racine carrée est imaginaire. Les racines s’écrivent alors p ± qi, où i = √−1. Pour x² + 2x + 5 = 0, ce sont −1 + 2i et −1 − 2i.
Qu’est-ce que le sommet d’une parabole ?
C’est le point où la courbe y = ax² + bx + c change de sens, situé en x = −b / 2a. C’est un minimum quand a > 0 et un maximum quand a < 0, et la courbe est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par ce point.
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