🔔 Calcul du score z
Pas besoin de table de la loi normale : Φ(z) est calculé directement. Passez d’une note brute au score z et à son centile, d’un score z aux probabilités, ou d’un centile visé à la note qu’il vous faut.
Réponse rapide : Une note de 85 pour une moyenne de 70 et un écart type de 10 donne z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5, ce qui correspond au 93,32e centile : 93,32 % des valeurs sont en dessous et 6,68 % au-dessus.
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Données : Calcul du score z
Résultat
Score z de 85
z = 1,5
1,5 écart type au-dessus de la moyenne · 93,32e centile
- Centile
- 93,32
- P(Z < z), queue gauche
- 0,933193
- P(Z > z), queue droite
- 0,066807
| Bilatérale P(|Z| > |z|) | 0,133614 |
| P(−1,5 < Z < 1,5) | 0,866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0,433193 |
| Part en dessous / au-dessus | 93,32 % / 6,68 % |
Calcul détaillé
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1,5
- Queue gauche : P(Z < 1,5) = Φ(1,5) = 0,933193 → 93,32e centile
- Queue droite : P(Z > 1,5) = 1 − 0,933193 = 0,066807
- Bilatérale : 2 × P(Z > 1,5) = 0,133614
Scores z courants
| z | Centile (queue gauche) | Valeur p bilatérale | Entre −z et +z |
|---|---|---|---|
| 0 | 50 % | 1 | 0 % |
| 0,5 | 69,15 % | 0,617075 | 38,29 % |
| 1 | 84,13 % | 0,317311 | 68,27 % |
| 1,282 | 90 % | 0,200001 | 80 % |
| 1,5 | 93,32 % | 0,133614 | 86,64 % |
| 1,645 | 95 % | 0,100001 | 90 % |
| 1,96 | 97,5 % | 0,05 | 95 % |
| 2 | 97,72 % | 0,0455 | 95,45 % |
| 2,326 | 99 % | 0,02 | 98 % |
| 2,576 | 99,5 % | 0,01 | 99 % |
| 3 | 99,87 % | 0,0027 | 99,73 % |
La formule du score z
Le score z (ou valeur centrée réduite) mesure l’écart entre une valeur et la moyenne en nombre d’écarts types.
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
Ici, x est la valeur, μ la moyenne et σ l’écart type. Passer au score z permet de comparer des valeurs mesurées sur des échelles différentes (par exemple une note d’examen et une taille) sur une même échelle commune.
Exemple détaillé
Un examen a une moyenne de 70 et un écart type de 10. Vous avez obtenu 85.
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5.
- Aire à gauche : Φ(1,5) = 0,9332, vous êtes donc au 93,32e centile.
- Aire à droite : 1 − 0,9332 = 0,0668, donc 6,68 % des candidats ont fait mieux.
Dans l’autre sens : le 95e centile correspond à z = 1,6449, donc x = 70 + 1,6449 × 10 ≈ 86,45.
La règle empirique
| Intervalle | Part des valeurs |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27 % |
| μ ± 1,96σ | 95 % |
| μ ± 2σ | 95,45 % |
| μ ± 3σ | 99,73 % |
Comment utiliser le calculateur
Choisissez ce que vous voulez calculer. Saisissez une valeur avec la moyenne et l’écart type pour obtenir son score z et son centile, saisissez un centile pour trouver la valeur correspondante, ou saisissez directement un score z pour lire les probabilités.
Quelle probabilité vous faut-il ?
- Queue gauche P(Z < z) : le centile, c’est-à-dire la part des valeurs situées en dessous.
- Queue droite P(Z > z) : la part des valeurs situées au-dessus ; c’est la valeur p unilatérale d’un test « supérieur à ».
- Bilatérale : la probabilité de s’écarter au moins autant de la moyenne, dans un sens ou dans l’autre ; c’est la valeur p d’un test z bilatéral.
Ces probabilités supposent que les données suivent une loi normale. Avec des données très asymétriques, les centiles déduits d’un score z peuvent être trompeurs.
Questions fréquentes
Que mesure un score z ?
Le nombre d’écarts types qui séparent une valeur de la moyenne. z = 0 correspond exactement à la moyenne, z = 1 à un écart type au-dessus et z = −2 à deux écarts types en dessous. Dans une loi normale, environ 68 % des valeurs ont |z| < 1, 95 % ont |z| < 1,96 et 99,7 % ont |z| < 3.
Comment convertir un score z en centile ?
Le centile est l’aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite à gauche de z, Φ(z), multipliée par 100. z = 1,5 donne Φ(1,5) = 0,9332, soit le 93,32e centile. Le calculateur obtient Φ avec précision : aucune table n’est nécessaire.
Un score z peut-il être négatif ?
Oui : un score z négatif signifie que la valeur est inférieure à la moyenne. z = −1,5 correspond au 6,68e centile, symétrique de z = 1,5.
Qu’est-ce qu’un « bon » score z ?
Tout dépend du contexte. Aux examens, un z supérieur à 1 (environ les 16 % meilleurs) est au-dessus de la moyenne, et au-delà de 2 (les 2,3 % meilleurs) il est exceptionnel. En contrôle qualité ou en statistique, un |z| supérieur à 1,96 ou à 3 est souvent considéré comme inhabituel ou aberrant.
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