🔔 Calcolatore di punteggio z
Niente tavole z: Φ(z) viene calcolata direttamente. Passa da un punteggio grezzo a z e al suo percentile, da z alle probabilità delle code, o da un percentile obiettivo al punteggio che ti serve.
Risposta rapida: Un punteggio di 85 con media 70 e deviazione standard 10 ha z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5, cioè il 93,32° percentile: il 93,32% dei valori sta sotto e il 6,68% sopra.
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Dati: Calcolatore di punteggio z
Risultato
Punteggio z di 85
z = 1,5
1,5 deviazioni standard sopra la media · 93,32° percentile
- Percentile
- 93,32
- P(Z < z), coda sinistra
- 0,933193
- P(Z > z), coda destra
- 0,066807
| Bilaterale P(|Z| > |z|) | 0,133614 |
| P(−1,5 < Z < 1,5) | 0,866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0,433193 |
| Quota sotto / sopra | 93,32% / 6,68% |
Procedimento
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1,5
- Coda sinistra: P(Z < 1,5) = Φ(1,5) = 0,933193 → 93,32° percentile
- Coda destra: P(Z > 1,5) = 1 − 0,933193 = 0,066807
- Bilaterale: 2 × P(Z > 1,5) = 0,133614
Punteggi z più comuni
| z | Percentile (coda sinistra) | Valore p bilaterale | Entro ±z |
|---|---|---|---|
| 0 | 50% | 1 | 0% |
| 0,5 | 69,15% | 0,617075 | 38,29% |
| 1 | 84,13% | 0,317311 | 68,27% |
| 1,282 | 90% | 0,200001 | 80% |
| 1,5 | 93,32% | 0,133614 | 86,64% |
| 1,645 | 95% | 0,100001 | 90% |
| 1,96 | 97,5% | 0,05 | 95% |
| 2 | 97,72% | 0,0455 | 95,45% |
| 2,326 | 99% | 0,02 | 98% |
| 2,576 | 99,5% | 0,01 | 99% |
| 3 | 99,87% | 0,0027 | 99,73% |
La formula del punteggio z
Il punteggio z (o punteggio standardizzato) misura la distanza tra un valore e la media in unità di deviazione standard.
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
Qui x è il valore, μ la media e σ la deviazione standard. Passando a z puoi confrontare valori di scale diverse, per esempio il voto di una prova e una statura, su un’unica scala comune.
Esempio svolto
Una prova ha media 70 e deviazione standard 10. Hai preso 85.
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5.
- Area a sinistra: Φ(1,5) = 0,9332, quindi sei al 93,32° percentile.
- Area a destra: 1 − 0,9332 = 0,0668, quindi il 6,68% ha preso di più.
Al contrario: il 95° percentile corrisponde a z = 1,6449, quindi x = 70 + 1,6449 × 10 ≈ 86,45.
La regola empirica
| Intervallo | Quota di valori |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27% |
| μ ± 1,96σ | 95% |
| μ ± 2σ | 95,45% |
| μ ± 3σ | 99,73% |
Come usare il calcolatore
Scegli che cosa vuoi trovare. Inserisci un valore con media e deviazione standard per ottenere il suo punteggio z e il percentile, inserisci un percentile per trovare il valore corrispondente, oppure inserisci direttamente un punteggio z per leggere le probabilità.
Quale probabilità mi serve?
- Coda sinistra P(Z < z): il percentile, cioè la quota di valori al di sotto.
- Coda destra P(Z > z): la quota di valori al di sopra; è il valore p unilaterale di un test «maggiore di».
- Bilaterale: la probabilità di allontanarsi almeno così tanto dalla media in una delle due direzioni; è il valore p di uno z-test bilaterale.
Le probabilità presuppongono che i dati seguano una distribuzione normale. Con dati molto asimmetrici, i percentili ricavati da un punteggio z possono essere fuorvianti.
Domande frequenti
Che cosa indica un punteggio z?
Di quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media. z = 0 è esattamente la media, z = 1 è una deviazione standard sopra e z = −2 due sotto. In una distribuzione normale circa il 68% dei valori ha |z| < 1, il 95% ha |z| < 1,96 e il 99,7% ha |z| < 3.
Come si converte un punteggio z in percentile?
Il percentile è l’area sotto la curva normale standard a sinistra di z, Φ(z), moltiplicata per 100. z = 1,5 dà Φ(1,5) = 0,9332, cioè il 93,32° percentile. Il calcolatore ricava Φ con precisione, quindi non serve la tavola z.
Un punteggio z può essere negativo?
Sì: un punteggio z negativo significa che il valore è sotto la media. z = −1,5 corrisponde al 6,68° percentile, l’immagine speculare di z = 1,5.
Qual è un punteggio z «buono»?
Dipende dal contesto. Nei test, z sopra 1 (circa il 16% migliore) è sopra la media e sopra 2 (circa il 2,3% migliore) è eccezionale. Nel controllo qualità o in statistica, un |z| oltre 1,96 o 3 viene spesso considerato insolito o un valore anomalo.
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