🎲 Permutazioni e combinazioni
Inserisci n e r per contare le selezioni ordinate e non ordinate, con e senza ripetizione. Il calcolo usa l’aritmetica intera esatta, quindi anche i risultati molto grandi non vengono arrotondati.
Risposta rapida: nPr = n! ÷ (n − r)! e nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Con n = 10 e r = 3 si ha nPr = 720 e nCr = 120.
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Dati: Permutazioni e combinazioni
Risultato
Combinazioni C(10, 3)
120
l’ordine non conta
| Disposizioni P(10, 3): l’ordine conta | 720 |
| Combinazioni C(10, 3): l’ordine non conta | 120 |
| Disposizioni con ripetizione (10^3) | 1.000 |
| Combinazioni con ripetizione | 220 |
| 10! (fattoriale di n) | 3.628.800 |
Disposizioni e combinazioni
Usa le disposizioni quando l’ordine degli elementi scelti conta e le combinazioni quando non conta. Entrambe partono dal fattoriale: n! = n × (n − 1) × … × 1.
nPr = n! ÷ (n − r)! · nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)
Esempio: scegliere 3 elementi su 10. nPr = 10 × 9 × 8 = 720. nCr = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120.
Quale formula mi serve?
| Situazione | Cosa usare |
|---|---|
| Oro, argento e bronzo tra 10 corridori | Disposizioni (720) |
| Una squadra di 3 persone su 10 | Combinazioni (120) |
| Codice di 3 cifre con le cifre da 0 a 9, ripetizioni ammesse | nr = 1.000 |
| 3 palline di gelato scelte tra 10 gusti, ripetizioni ammesse | C(n + r − 1, r) = 220 |
Consigli
- Per definizione 0! = 1, quindi C(n, 0) = C(n, n) = 1.
- Senza ripetizione, r non può superare n.
- I risultati sono esatti; i numeri molto grandi vengono mostrati in notazione scientifica.
Domande frequenti
Che differenza c’è tra disposizioni e combinazioni?
Le disposizioni (nPr, spesso chiamate anche permutazioni di r elementi su n) contano i raggruppamenti in cui l’ordine conta, come il podio di una gara; le combinazioni contano le scelte in cui l’ordine non conta, come una commissione. Ogni combinazione dà origine a r! disposizioni.
In quanti modi si possono mettere in fila 5 persone?
In 5P5 = 5! = 120 modi: sono le permutazioni di 5 elementi.
Che cosa significa nCr = nC(n−r)?
Scegliere r elementi da prendere equivale a scegliere gli n − r da lasciare fuori, quindi C(10, 3) e C(10, 7) valgono entrambi 120.
Come si calcolano le probabilità di una lotteria?
Se si scelgono 6 numeri su 49, le giocate possibili sono C(49, 6) = 13.983.816, quindi una sola schedina ha 1 probabilità su 13.983.816.
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