📏 Teorema di Pitagora
Inserisci due lati di un triangolo rettangolo e troviamo il terzo – l’ipotenusa o un cateto – poi aggiungiamo i due angoli acuti, l’area e il perimetro.
Risposta rapida: L’ipotenusa è c = √(a² + b²). In un triangolo rettangolo con cateti 3 e 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
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Dati: Teorema di Pitagora
Risultato
Ipotenusa
c = 5
- Lati
- 3; 4; 5
- Area (½ab)
- 6
- Perimetro
- 12
- Angolo opposto al cateto a
- 36,8699°
- Angolo opposto al cateto b
- 53,1301°
Procedimento
- Teorema di Pitagora: c = √(a² + b²)
- Si elevano al quadrato i cateti: 3² = 9; 4² = 16
- Si sommano: 9 + 16 = 25
- Radice quadrata: c = √25 = 5
Il teorema
In un triangolo rettangolo con cateti a e b e ipotenusa c (sempre il lato più lungo, opposto all’angolo retto):
a² + b² = c² · c = √(a² + b²) · b = √(c² − a²)
Calcolare l’ipotenusa
Esempio: cateti di 3 e 4. Elevali al quadrato: 9 e 16. Sommali: 25. Estrai la radice quadrata: c = 5. Questo triangolo 3-4-5 è la terna pitagorica più famosa ed è usato da millenni dai costruttori per tracciare angoli retti.
Calcolare un cateto
Esempio: una scala lunga 10 piedi è appoggiata a un muro, con la base a 6 piedi dal muro. A che altezza arriva? b = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 piedi. Con i metri il calcolo è identico: una scala di 10 m con la base a 6 m arriva a 8 m.
Terne pitagoriche comuni
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Oltre al lato mancante
Quando tutti e tre i lati sono noti, il calcolatore mostra anche l’area (½ × a × b, perché i cateti sono perpendicolari), il perimetro e i due angoli acuti, trovati con l’arcotangente: angolo opposto ad a = tan⁻¹(a ÷ b). I due angoli acuti sommati danno sempre 90°.
Consigli
- Usa la stessa unità di misura per tutti i lati: il risultato sarà in quella unità.
- L’ipotenusa deve essere più lunga di ciascun cateto; altrimenti i numeri non possono formare un triangolo rettangolo.
- Per verificare se un triangolo è rettangolo, controlla se la somma dei quadrati dei due lati più corti è uguale al quadrato del lato più lungo.
- La distanza tra due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) si basa sulla stessa idea: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Domande frequenti
Che cosa dice il teorema di Pitagora?
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa (il lato opposto all’angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati: a² + b² = c². Vale solo per i triangoli con un angolo di 90°.
Come si trova un cateto invece dell’ipotenusa?
Si ricava la formula inversa b = √(c² − a²). Con un’ipotenusa di 13 e un cateto di 5, l’altro cateto è √(169 − 25) = √144 = 12. Nel menu Calcola scegli “Un cateto”.
Che cosa sono le terne pitagoriche?
Gruppi di tre numeri interi che soddisfano a² + b² = c², come 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e 7-24-25. Anche ogni multiplo di una terna, come 6-8-10, è una terna pitagorica.
Perché il risultato mostra una radice come 5√2?
Quando il risultato non è un numero intero, il calcolatore dà anche il valore esatto come radicale semplificato. Cateti di 5 e 5 danno c = √50 = 5√2 ≈ 7,071068.
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