📊 Calcolatore dell’intervallo di confidenza
Inserisci media e deviazione standard del campione, oppure il numero di successi, e ottieni l’intervallo, il margine di errore e il valore critico da cui deriva.
Risposta rapida: Per una media campionaria di 50 con s = 8 e n = 25, l’intervallo di confidenza al 95% è 50 ± 2,0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3,3022, cioè da 46,6978 a 53,3022.
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Dati: Calcolatore dell’intervallo di confidenza
Risultato
Intervallo di confidenza al 95% per la media
da 46,6978 a 53,3022
50 ± 3,3022
- Margine di errore
- ±3,3022
- Valore critico t* (gl = 24)
- 2,0639
- Errore standard
- 1,6
Procedimento
- Valore critico per una confidenza del 95%: t* (gl = 24) = 2,0639
- Errore standard: s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1,6
- Margine di errore: 2,0639 × 1,6 = 3,302238
- Intervallo: 50 ± 3,3022 = [46,6978; 53,3022]
Con una confidenza del 95%, la vera media della popolazione è compresa tra 46,6978 e 53.3022.
Gli stessi dati con altri livelli di confidenza
| Confidenza | Valore critico | Margine di errore | Intervallo |
|---|---|---|---|
| 80% | 1,3178 | ±2,1085 | da 47,8915 a 52,1085 |
| 85% | 1,4871 | ±2,3794 | da 47,6206 a 52,3794 |
| 90% | 1,7109 | ±2,7374 | da 47,2626 a 52,7374 |
| 95% | 2,0639 | ±3,3022 | da 46,6978 a 53,3022 |
| 98% | 2,4922 | ±3,9875 | da 46,0125 a 53,9875 |
| 99% | 2,7969 | ±4,4751 | da 45,5249 a 54,4751 |
| 99,9% | 3,7454 | ±5,9926 | da 44,0074 a 55,9926 |
Formule dell’intervallo di confidenza
Media: x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · Proporzione: p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
La parte dopo ± è il margine di errore: il valore critico moltiplicato per l’errore standard.
Esempio pratico
Un campione di 25 osservazioni ha media 50 e deviazione standard 8. Trova l’intervallo al 95% per la media della popolazione.
- σ non è nota, quindi usa t con 25 − 1 = 24 gradi di libertà: t* = 2,0639.
- Errore standard = 8 ÷ √25 = 1,6.
- Margine di errore = 2,0639 × 1,6 = 3,3022.
- Intervallo = 50 ± 3,3022 = da 46,6978 a 53,3022.
Usando z al posto di t (1,96 × 1,6 = 3,136) l’intervallo sarebbe leggermente più stretto: ecco perché usare z con un campione piccolo sopravvaluta la precisione.
Valori critici
| Confidenza | z* | t* (gl = 10) | t* (gl = 30) |
|---|---|---|---|
| 80% | 1,2816 | 1,3722 | 1,3104 |
| 90% | 1,6449 | 1,8125 | 1,6973 |
| 95% | 1,9600 | 2,2281 | 2,0423 |
| 98% | 2,3263 | 2,7638 | 2,4573 |
| 99% | 2,5758 | 3,1693 | 2,7500 |
Come usare il calcolatore
Scegli se stai stimando una media o una proporzione. Per una media inserisci la media campionaria, la deviazione standard e la dimensione del campione; per una proporzione, il numero di successi e la dimensione del campione. Scegli il livello di confidenza: intervallo, margine di errore e passaggi compaiono subito.
Ipotesi
- Il campione è casuale e le osservazioni sono indipendenti.
- Per una media: i dati sono approssimativamente normali, oppure n è abbastanza grande (circa 30 o più) da applicare il teorema del limite centrale.
- Per una proporzione: l’intervallo di Wald richiede almeno circa 10 successi e 10 insuccessi; altrimenti affidati all’intervallo di Wilson.
Domande frequenti
Meglio usare z o t?
Usa t ogni volta che stimi la variabilità dal campione stesso (il caso più comune): allarga l’intervallo per tenere conto dell’incertezza in più, con n − 1 gradi di libertà. Usa z solo quando la deviazione standard della popolazione σ è davvero nota. Con campioni grandi i due risultati sono quasi identici.
Cosa significa un intervallo di confidenza al 95%?
Se ripetessi il campionamento molte volte e costruissi ogni volta un intervallo, circa il 95% di quegli intervalli conterrebbe il vero valore della popolazione. Non significa che ci sia una probabilità del 95% che questo specifico intervallo lo contenga.
Wald o Wilson per una proporzione?
L’intervallo di Wald p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) è la formula dei manuali, ma funziona male con campioni piccoli o proporzioni vicine allo 0% o al 100%: può persino scendere sotto lo 0. L’intervallo di Wilson ha una copertura molto migliore ed è consigliato in questi casi.
Come posso rendere l’intervallo più stretto?
Aumenta la dimensione del campione (il margine si riduce con √n, quindi quadruplicando n si dimezza), accetta un livello di confidenza più basso oppure riduci la variabilità delle misure.
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