🔍 Verifica numeri primi
Scrivi un numero intero per sapere se è primo. Se non lo è, ottieni la sua scomposizione in fattori primi; in ogni caso vedi il numero primo immediatamente precedente e quello successivo.
Risposta rapida: 97 è primo: nessun numero intero da 2 a 9 (√97 ≈ 9,8489) lo divide esattamente. Invece 91 non è primo, perché 91 = 7 × 13.
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Dati: Verifica numeri primi
Risultato
È primo?
97 è un numero primo
Gli unici divisori sono 1 e 97.
- Fattore primo più piccolo
- 97
- Scomposizione in fattori primi
- 97
- Numero di divisori
- 2
- Primo precedente
- 89
- Primo successivo
- 101
Procedimento
- √97 ≈ 9.8489, quindi basta provare i divisori fino a 9
- Nessun numero intero da 2 a 9 divide esattamente 97, quindi è primo
Quando un numero è primo?
Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che ha come divisori solo 1 e sé stesso. I numeri con più divisori si dicono composti. 0 e 1 non sono né primi né composti.
n è primo ⇔ n > 1 e nessun intero d con 2 ≤ d ≤ √n divide n
Perché basta arrivare alla radice quadrata?
Se n = a × b, a e b non possono essere entrambi maggiori di √n, altrimenti il loro prodotto sarebbe troppo grande. Quindi ogni numero composto ha un fattore non superiore alla sua radice quadrata, e la ricerca può fermarsi lì.
Esempi svolti
- 97: √97 ≈ 9,85. Si provano 2, 3, 5 e 7: nessuno divide 97, quindi è primo.
- 91: √91 ≈ 9,54. 91 ÷ 7 = 13 esatto, quindi 91 = 7 × 13 è composto. È il classico numero che “sembra primo”.
- 360: si divide per 2 tre volte, per 3 due volte e per 5 una volta: 360 = 2³ × 3² × 5, con (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisori.
I primi numeri primi
| Intervallo | Numeri primi |
|---|---|
| 1–25 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 |
| 26–50 | 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51–100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
I numeri primi minori di 100 sono 25, e in tutto sono infiniti, come dimostrò Euclide più di 2.000 anni fa.
Criteri di divisibilità rapidi
- 2: l’ultima cifra è pari.
- 3: la somma delle cifre è divisibile per 3.
- 5: il numero finisce con 0 o 5.
- 11: la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è divisibile per 11.
Lo strumento tratta in modo esatto ogni numero intero fino a mille miliardi, con divisioni successive per 2, per 3 e per i numeri della forma 6k ± 1.
Domande frequenti
1 è un numero primo?
No. Un numero primo ha esattamente due divisori distinti, 1 e sé stesso, mentre 1 ne ha uno solo. Escludere 1 rende anche unica la scomposizione in fattori primi: altrimenti si potrebbe scrivere 6 = 2 × 3 × 1 × 1 × …
2 è l’unico numero primo pari?
Sì. Ogni altro numero pari è divisibile per 2, quindi ha almeno tre divisori (1, 2 e sé stesso). Per questo 2 è il primo più piccolo e l’unico pari.
Come si verifica se un numero grande è primo?
Si prova la divisibilità per i primi fino alla sua radice quadrata: se nessuno lo divide, il numero è primo. Per 1.000.000.007 significa controllare i divisori fino a circa 31.623, cosa che lo strumento fa in una frazione di secondo.
Che cos’è la scomposizione in fattori primi?
È la scrittura di un numero come prodotto di numeri primi, per esempio 360 = 2³ × 3² × 5. Ogni numero intero maggiore di 1 ha una sola scomposizione in fattori primi (teorema fondamentale dell’aritmetica).
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