🔢 Calcolatore di MCD e mcm
Scrivi due o più numeri interi separati da virgole o spazi. Ognuno viene scomposto in potenze di primi, così vedi quali fattori determinano il massimo comun divisore e quali il minimo comune multiplo.
Risposta rapida: Per 12, 18 e 30 il MCD è 6 e il mcm è 180: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5, quindi MCD = 2 × 3 e mcm = 2² × 3² × 5.
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Dati: Calcolatore di MCD e mcm
Risultato
MCD e mcm di 12, 18 e 30
MCD = 6 · mcm = 180
- Massimo comun divisore (MCD)
- 6
- Minimo comune multiplo (mcm)
- 180
- Primi tra loro?
- No
Procedimento
- Scrivi ogni numero come prodotto di potenze di primi (vedi la tabella)
- MCD: prendi ogni primo presente in tutti i numeri, con l’esponente minore: 2 × 3 = 6
- mcm: prendi tutti i primi presenti in almeno un numero, con l’esponente maggiore: 2² × 3² × 5 = 180
Scomposizioni in fattori primi
| Numero | Scomposizione in fattori primi |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
Definizioni
Il massimo comun divisore (MCD) è il numero più grande che divide esattamente ogni numero dell’elenco. Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo numero positivo divisibile esattamente per ogni numero dell’elenco.
Il metodo della scomposizione in fattori primi
Scomponi ogni numero in potenze di primi. Poi:
MCD = prodotto dei fattori comuni con l’esponente minore · mcm = prodotto di tutti i fattori con l’esponente maggiore
Esempio: 12, 18 e 30
| Numero | Fattori primi |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- Primi presenti in tutti e tre: 2 e 3, con esponenti minori 2¹ e 3¹ → MCD = 6.
- Tutti i primi con l’esponente maggiore: 2², 3², 5 → mcm = 4 × 9 × 5 = 180.
L’algoritmo di Euclide
Con due numeri grandi, il metodo di Euclide è più veloce della scomposizione: sostituisci più volte il numero maggiore con il resto della sua divisione per il minore, finché il resto è 0. Per 48 e 18: 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, quindi MCD = 6. Poi mcm = 48 × 18 ÷ 6 = 144.
Dove si usano
- Frazioni: il MCD semplifica una frazione; il mcm dei denominatori è il minimo comune denominatore.
- Piastrelle e tagli: il MCD dà la piastrella quadrata più grande che copre esattamente un rettangolo.
- Cicli: il mcm indica quando eventi ripetuti tornano a coincidere.
Consigli
- Il MCD non può mai superare il numero più piccolo; il mcm non può mai essere minore del più grande.
- Il calcolatore accetta fino a 20 numeri interi positivi, ciascuno fino a mille miliardi, e calcola il mcm in modo esatto anche quando è enorme.
Domande frequenti
MCD e massimo fattore comune sono la stessa cosa?
Sì. Massimo comun divisore (MCD), massimo fattore comune e massimo divisore comune indicano tutti il più grande numero intero che divide tutti i numeri dati senza resto.
A cosa serve il mcm?
Il minimo comune multiplo dà il minimo comune denominatore quando si sommano frazioni e risolve problemi di cadenze: se un autobus passa ogni 12 minuti e un altro ogni 18, si incontrano ogni mcm(12, 18) = 36 minuti.
Esiste una formula rapida che lega mcm e MCD?
Per due numeri, mcm(a, b) × MCD(a, b) = a × b. Quindi mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36. La scorciatoia non vale direttamente per tre o più numeri.
Che cosa significa se il MCD è 1?
I numeri sono primi tra loro (coprimi): non hanno fattori in comune oltre a 1, come 8 e 15. Il loro mcm è allora semplicemente il prodotto, 120.
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