🔺 Calcolatore di triangoli
Indica ciò che conosci, cioè i lati a, b, c e gli angoli opposti A, B, C: i valori mancanti vengono ricavati con il teorema dei seni o del coseno, passaggio per passaggio.
Risposta rapida: Un triangolo con lati 3, 4 e 5 ha angoli di 36,87°, 53,13° e 90°, area 6 e perimetro 12: è un triangolo rettangolo scaleno.
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Dati: Calcolatore di triangoli
Risultato
Triangolo risolto (rettangolo scaleno)
A = 36,87°, B = 53,13°, C = 90°
Lati 3; 4; 5
- Area
- 6
- Perimetro
- 12
- Tipo
- Rettangolo scaleno
| Lati a, b e c | 3; 4; 5 |
| Angoli A, B e C | 36,8699°; 53,1301°; 90° |
| Angoli in radianti | 0,6435; 0,9273; 1,5708 |
| Altezze hₐ, h_b e h_c | 4; 3; 2,4 |
| Semiperimetro s | 6 |
| Raggio della circonferenza inscritta r = area ÷ s | 1 |
| Raggio della circonferenza circoscritta R = a ÷ (2 sen A) | 2,5 |
Procedimento
- Teorema del coseno: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc) = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = 36,8699°
- B = arccos((a² + c² − b²) ÷ 2ac) = 53,1301°
- C = 180° − A − B = 90°
- Area (formula di Erone): √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Perimetro: 3 + 4 + 5 = 12
Come risolvere un triangolo
Chiama i lati a, b e c e gli angoli opposti A, B e C. Scegli il caso che corrisponde ai dati che conosci e inserisci tre valori: il calcolatore trova il resto.
Teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos C · Teorema dei seni: a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C
| Dati noti | Metodo |
|---|---|
| LLL – tre lati | Teorema del coseno per ciascun angolo |
| LAL – due lati e l’angolo compreso | Teorema del coseno per il terzo lato, poi gli angoli |
| ALA / AAL – due angoli e un lato | Terzo angolo = 180° − A − B, poi teorema dei seni |
| LLA – due lati e un angolo non compreso | Teorema dei seni; può avere 0, 1 o 2 soluzioni |
Esempio pratico (LLL)
Lati 3, 4 e 5:
- A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = arccos(0,8) = 36,87°.
- B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5)) = arccos(0,6) = 53,13°.
- C = 180° − 36,87° − 53,13° = 90°, quindi è un triangolo rettangolo.
- s = 6, quindi Area = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, e il perimetro è 12.
Classificazione dei triangoli
- In base ai lati: equilatero (tutti uguali), isoscele (due uguali), scaleno (nessuno uguale).
- In base agli angoli: acutangolo (tutti minori di 90°), rettangolo (uno esattamente di 90°), ottusangolo (uno maggiore di 90°).
Verifiche
- La somma dei tre angoli è sempre 180°.
- Disuguaglianza triangolare: la somma di due lati qualsiasi deve superare il terzo, quindi 2, 3 e 6 è impossibile.
- Il lato più lungo è sempre opposto all’angolo più ampio.
Domande frequenti
Che cosa significano LLL, LAL, ALA, AAL e LLA?
Indicano quali tre misure conosci, nell’ordine in cui si susseguono attorno al triangolo: L è un lato, A un angolo. LAL significa due lati e l’angolo compreso; AAL due angoli e un lato non compreso tra loro. Ognuno di questi casi determina il triangolo, tranne LLA, che può dare nessuno, uno o due triangoli.
Perché il caso LLA può dare due triangoli?
Conoscendo due lati e un angolo non compreso, a volte il terzo vertice può trovarsi in due posizioni. Il teorema dei seni fornisce sen B, e possono andare bene sia B sia 180° − B. È il cosiddetto «caso ambiguo»; quando esistono entrambi, il calcolatore mostra i due triangoli.
Perché non si può risolvere un triangolo conoscendo solo i tre angoli?
I tre angoli fissano la forma ma non le dimensioni: ogni copia ingrandita o rimpicciolita ha gli stessi angoli. Serve almeno la lunghezza di un lato.
Come si calcola l’area?
Una volta noti i tre lati, il calcolatore usa la formula di Erone, Area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), dove s è il semiperimetro. Formule equivalenti sono ½ab·sen C e ½ × base × altezza.
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