📈 Calcolatore di logaritmi
Scegli la base 10, e o 2, oppure scrivi la tua. Per ogni base diversa da e, il risultato mostra il passaggio ln(x) ÷ ln(b), così puoi verificarlo con una normale calcolatrice scientifica.
Risposta rapida: log₁₀(1000) = 3 perché 10³ = 1000. Il suo logaritmo naturale è ln(1000) ≈ 6,907755279, e con la formula del cambiamento di base logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b) si calcola il logaritmo in qualsiasi base.
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Dati: Calcolatore di logaritmi
Risultato
log₁₀(1.000)
= 3
perché 10^3 = 1.000
- log₁₀(x)
- 3
- ln(x)
- 6,907755279
- log₂(x)
- 9,9657842847
Procedimento
- Definizione: log₁₀(1.000) = y significa che 10^y = 1.000
- Cambiamento di base: log₁₀(1.000) = ln(1.000) ÷ ln(10) = 6,907755279 ÷ 2,302585093 = 3
- Verifica: 10^3 = 1.000
Che cosa significa un logaritmo
Il logaritmo è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Se b elevato a y dà x, allora y è il logaritmo in base b di x:
logᵦ(x) = y ⇔ bʸ = x · logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b)
La seconda formula, il cambiamento di base, permette di calcolare un logaritmo in qualsiasi base usando solo logaritmi naturali (o decimali).
Le tre basi più usate
| Base | Notazione | Uso tipico |
|---|---|---|
| 10 | log o log₁₀ | pH, decibel, scala Richter, ordini di grandezza |
| e ≈ 2,71828 | ln | crescita continua, analisi matematica, interesse composto |
| 2 | log₂ o lb | informatica, bit, dimezzamenti e raddoppi |
Esempio svolto
log₁₀(1000) = 3, perché 10 × 10 × 10 = 1000. Per una base personalizzata, prendi log₃(81): ln 81 ≈ 4,394449 e ln 3 ≈ 1,098612; dividendo si ottiene esattamente 4, e infatti 3⁴ = 81.
Proprietà dei logaritmi
- Prodotto: log(ab) = log a + log b
- Quoziente: log(a ÷ b) = log a − log b
- Potenza: log(aⁿ) = n × log a
- Valori particolari: logᵦ(1) = 0 e logᵦ(b) = 1 per ogni base valida
Consigli
- L’argomento deve essere maggiore di 0, e la base deve essere positiva e diversa da 1.
- I logaritmi dei numeri compresi tra 0 e 1 sono negativi: log₁₀(0,01) = −2.
- Per risolvere bˣ = y rispetto a x, passa ai logaritmi: x = ln(y) ÷ ln(b). È utile per domande come «in quanto tempo raddoppiano i miei risparmi?».
- Ogni unità in più di un logaritmo in base 10 corrisponde a un fattore 10: per questo un terremoto di magnitudo 6 ha un’ampiezza delle onde dieci volte maggiore di uno di magnitudo 5.
Domande frequenti
Che cos’è un logaritmo?
Un logaritmo risponde alla domanda «a quale esponente devo elevare la base per ottenere questo numero?». log₂(8) = 3 perché 2³ = 8. I logaritmi trasformano le moltiplicazioni in addizioni, ed è per questo che compaiono in scienze, finanza e informatica.
Che differenza c’è tra log e ln?
«log» indica di solito la base 10 (logaritmo decimale), mentre «ln» è il logaritmo naturale, in base e ≈ 2,718281828. In molti linguaggi di programmazione e nei testi di matematica avanzata, però, log indica ln: controlla sempre il contesto.
Come si calcola un logaritmo in un’altra base?
Con la formula del cambiamento di base: logᵦ(x) = ln(x) ÷ ln(b) (oppure log(x) ÷ log(b)). Per esempio log₃(81) = ln 81 ÷ ln 3 = 4,394449 ÷ 1,098612 = 4.
Perché non si può calcolare il logaritmo di zero o di un numero negativo?
Una base positiva elevata a qualsiasi esponente reale dà sempre un numero positivo, quindi nessun esponente produce 0 o un numero negativo. Lì il logaritmo non è definito; quando x si avvicina a 0, il logaritmo tende a meno infinito.
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