📐 Risolutore di equazioni di secondo grado
Inserisci i coefficienti a, b e c. Il discriminante ti dice subito che tipo di soluzioni aspettarti, e lo svolgimento mostra come ci arriva la formula risolutiva.
Risposta rapida: Per x² − 3x + 2 = 0 il discriminante è (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1, quindi la formula risolutiva dà x = (3 ± 1) ÷ 2: le soluzioni sono x = 2 e x = 1, e il vertice è (1,5; −0,25).
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Dati: Risolutore di equazioni di secondo grado
Risultato
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2; x₂ = 1
Due radici reali distinte (discriminante > 0)
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- Vertice
- (1,5; −0,25)
- Asse di simmetria
- x = 1,5
| Concavità della parabola | Verso l’alto (minimo nel vertice) |
| Intersezione con l’asse y | (0; 2) |
| Somma delle radici (−b/a) | 3 |
| Prodotto delle radici (c/a) | 2 |
Procedimento
- Si individuano i coefficienti: a = 1; b = −3; c = 2
- Discriminante: D = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- Formula risolutiva: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- Radici: x₁ = 2; x₂ = 1
- Vertice: x = −b ÷ 2a = 1,5; y = c − b² ÷ 4a = −0,25
La formula risolutiva
Qualsiasi equazione della forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0 si risolve con un’unica formula:
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
L’espressione sotto radice, D = b² − 4ac, è il discriminante (spesso indicato con Δ). Ti dice che tipo di soluzioni aspettarti prima ancora di finire il calcolo.
| Discriminante | Radici | Grafico |
|---|---|---|
| D > 0 | Due radici reali distinte | Taglia l’asse x in due punti |
| D = 0 | Una radice reale doppia | Tocca l’asse x nel vertice |
| D < 0 | Due radici complesse coniugate | Non incontra mai l’asse x |
Esempio svolto
Risolviamo x² − 3x + 2 = 0. Qui a = 1, b = −3 e c = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 e x₂ = 2 ÷ 2 = 1.
Verifica con la scomposizione: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Il vertice sta a metà strada tra le radici, in x = 1,5, dove y = −0,25.
Vertice e simmetria
La parabola y = ax² + bx + c cambia direzione in x = −b ÷ 2a. Sostituendo questo valore si ottiene l’ordinata, c − b² ÷ 4a. La somma delle radici è sempre −b/a e il loro prodotto c/a: un modo rapido per controllare i risultati.
Consigli
- Riordina l’equazione in modo che un membro sia zero prima di leggere a, b e c.
- Attenzione ai segni: se nell’equazione c’è «− 5x», allora b = −5.
- Con numeri piccoli prova prima a scomporre; altrimenti usa la formula.
- Il risolutore usa una forma numericamente stabile della formula, quindi resta preciso anche quando b² è molto più grande di 4ac.
Domande frequenti
Che cosa indica il discriminante?
Il discriminante D = b² − 4ac stabilisce il tipo di soluzioni. Se D > 0 ci sono due radici reali distinte, se D = 0 una radice reale doppia, se D < 0 due radici complesse coniugate e la parabola non taglia mai l’asse x.
Come inserisco un’equazione come 2x² = 8?
Porta prima tutti i termini dalla stessa parte, così da ottenere 2x² − 8 = 0. Allora a = 2, b = 0 e c = −8, e le soluzioni sono x = 2 e x = −2.
Che cosa sono le radici complesse?
Quando il discriminante è negativo, la radice quadrata di D è immaginaria. Le soluzioni hanno allora la forma p ± qi, dove i = √−1. Per x² + 2x + 5 = 0 sono −1 + 2i e −1 − 2i.
Che cos’è il vertice di una parabola?
È il punto di svolta di y = ax² + bx + c e si trova in x = −b / 2a. È un minimo se a > 0 e un massimo se a < 0, e il grafico è simmetrico rispetto alla retta verticale che lo attraversa.
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