ⁿ Calcolatore di potenze ed esponenti
Inserisci una base e un esponente come 3, −2, 0.5 o 2/3, oppure passa alla radice n-esima. Il procedimento mostra quale proprietà delle potenze si applica, e le potenze intere tornano come numeri interi esatti.
Risposta rapida: 8^(2/3) significa estrarre la radice cubica di 8 ed elevarla al quadrato: (∛8)² = 2² = 4; un esponente negativo inverte il risultato, quindi 8^(−2/3) = 1/4 = 0,25.
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Dati: Calcolatore di potenze ed esponenti
Risultato
8^(2/3) =
4
- Notazione scientifica
- 4 × 10⁰
- log₁₀ del risultato
- 0,60206
Procedimento
- Esponente frazionario 2/3: estrai la radice cubica, poi eleva alla potenza 2
- ∛8 = 2
- 2² = 4
- Con esponente decimale: 8^0,66666667 = 4
Proprietà delle potenze
| Proprietà | Formula | Esempio |
|---|---|---|
| Prodotto | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quoziente | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| Potenza di potenza | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potenza di un prodotto | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 5)³ = 8 × 125 = 1.000 |
| Esponente zero | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Esponente negativo | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Esponente frazionario | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = (∛8)² = 4 |
Potenze di 8
| Potenza | Valore |
|---|---|
| 8⁻³ | 0,001953125 |
| 8⁻² | 0,015625 |
| 8⁻¹ | 0,125 |
| 8⁰ | 1 |
| 8¹ | 8 |
| 8² | 64 |
| 8³ | 512 |
| 8⁴ | 4.096 |
| 8⁵ | 32.768 |
| 8¹⁰ | 1.073.741.824 |
Che cosa indica un esponente
L’esponente dice quante volte moltiplicare la base per sé stessa: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Le proprietà qui sotto estendono questa idea agli esponenti zero, negativi e frazionari.
aⁿ = a × a × … × a (n volte) · a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Esempio svolto
Calcoliamo 8^(2/3):
- Il denominatore 3 indica una radice cubica: ∛8 = 2.
- Il numeratore 2 indica di elevare al quadrato: 2² = 4.
- Quindi 8^(2/3) = 4. Con esponente negativo, 8^(−2/3) = 1 ÷ 4 = 0,25.
Le proprietà delle potenze
| Proprietà | Formula |
|---|---|
| Prodotto di potenze con la stessa base | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| Quoziente di potenze con la stessa base | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| Potenza di potenza | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| Esponente zero | a⁰ = 1 |
| Esponente negativo | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
Come usare il calcolatore
Inserisci la base e l’esponente. L’esponente può essere un numero intero (3), negativo (−2), decimale (0.5, con il punto) o una frazione (2/3). Per le radici, scegli «Radice n-esima» e inserisci il numero e l’indice della radice. Il procedimento mostra come si applica ciascuna proprietà.
Le radici come esponenti
Ogni radice è una potenza con esponente frazionario: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3) e la radice n-esima è x^(1/n). Scegli «Radice n-esima» qui sopra per trovare, per esempio, la radice quinta di 32 (= 2). Le radici di indice dispari dei numeri negativi sono reali; quelle di indice pari no.
Risultati molto grandi
Quando base ed esponente sono numeri interi, il calcolatore restituisce anche l’intero esatto, qualunque sia il numero di cifre – 2^100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 – invece di arrotondarlo in notazione scientifica.
Domande frequenti
Che cosa significa un esponente negativo?
Un esponente negativo indica «uno diviso» la potenza con esponente positivo: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Quindi 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125. Il risultato non diventa negativo.
Come funzionano gli esponenti frazionari?
Il denominatore è una radice e il numeratore una potenza: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, e 16^(1/2) è semplicemente √16 = 4.
Perché qualsiasi numero elevato a 0 fa 1?
Dividendo potenze con la stessa base gli esponenti si sottraggono: aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, e qualsiasi numero diviso per sé stesso fa 1. Il caso 0⁰ qui resta indefinito, anche se in molti ambiti per convenzione vale 1.
Un numero negativo può avere un esponente frazionario?
Solo se la radice ha indice dispari. (−8)^(1/3) = −2 perché ∛(−8) = −2, mentre (−4)^(1/2) = √(−4) non ha un valore reale: è il numero immaginario 2i.
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