🎲 Arranjo e combinação
Informe n e r para contar seleções ordenadas e não ordenadas, com e sem repetição, usando aritmética inteira exata para que resultados grandes não sejam arredondados.
Resposta rápida: nPr = n! ÷ (n − r)! e nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Para n = 10 e r = 3, nPr = 720 e nCr = 120.
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Dados: Arranjo e combinação
Resultado
Combinações C(10, 3)
120
a ordem não importa
| Arranjos P(10, 3) – a ordem importa | 720 |
| Combinações C(10, 3) – a ordem não importa | 120 |
| Arranjos com repetição (10^3) | 1.000 |
| Combinações com repetição | 220 |
| 10! (fatorial de n) | 3.628.800 |
Arranjos e combinações
Use o arranjo quando a ordem dos itens escolhidos importa e a combinação quando não importa. Os dois partem do fatorial: n! = n × (n − 1) × … × 1.
nPr = n! ÷ (n − r)! · nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)
Exemplo: escolher 3 de 10. nPr = 10 × 9 × 8 = 720. nCr = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120.
Qual eu preciso?
| Situação | Use |
|---|---|
| Ouro, prata e bronze entre 10 corredores | Arranjo (720) |
| Uma equipe de 3 entre 10 pessoas | Combinação (120) |
| Senha de 3 dígitos de 0 a 9, com repetição | nr = 1.000 |
| 3 bolas de sorvete de 10 sabores, com repetição | C(n + r − 1, r) = 220 |
Dicas
- Por definição, 0! = 1, então C(n, 0) = C(n, n) = 1.
- Sem repetição, r não pode ser maior que n.
- Os resultados são exatos; números muito grandes aparecem em notação científica.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
O arranjo conta agrupamentos em que a ordem importa (um pódio); a combinação conta seleções em que ela não importa (uma comissão). Cada combinação gera r! arranjos.
De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila?
São 5! = 120 permutações.
O que significa C(n, r) = C(n, n − r)?
Escolher r itens para levar é o mesmo que escolher n − r para deixar, por isso C(10, 3) e C(10, 7) valem ambos 120.
Como se calcula a chance de ganhar na loteria?
Escolhendo 6 números de 49, há C(49, 6) = 13.983.816 apostas possíveis; uma aposta simples tem 1 chance em 13.983.816.
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