🔔 Калькулятор z-оценки
Таблица нормального распределения не нужна: Φ(z) вычисляется напрямую. Переходите от исходного балла к z и процентилю, от z – к вероятностям хвостов или от нужного процентиля – к баллу.
Коротко: Балл 85 при среднем 70 и стандартном отклонении 10 дает z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5 – это процентиль 93,32: ниже лежат 93,32 % значений, выше – 6,68 %.
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор z-оценки: исходные данные
Результат
z-оценка значения 85
z = 1,5
на 1,5 стандартного отклонения выше среднего · процентиль 93,32
- Процентиль
- 93,32
- P(Z < z), левый хвост
- 0,933193
- P(Z > z), правый хвост
- 0,066807
| Двусторонняя вероятность P(|Z| > |z|) | 0,133614 |
| P(−1,5 < Z < 1,5) | 0,866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0,433193 |
| Доля ниже / выше | 93,32% / 6,68% |
Пошагово
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1,5
- Левый хвост: P(Z < 1,5) = Φ(1,5) = 0,933193 → процентиль 93,32
- Правый хвост: P(Z > 1,5) = 1 − 0,933193 = 0,066807
- Двусторонняя вероятность: 2 × P(Z > 1,5) = 0,133614
Часто используемые z-оценки
| z | Процентиль (левый хвост) | Двустороннее p | В пределах ±z |
|---|---|---|---|
| 0 | 50% | 1 | 0% |
| 0,5 | 69,15% | 0,617075 | 38,29% |
| 1 | 84,13% | 0,317311 | 68,27% |
| 1,282 | 90% | 0,200001 | 80% |
| 1,5 | 93,32% | 0,133614 | 86,64% |
| 1,645 | 95% | 0,100001 | 90% |
| 1,96 | 97,5% | 0,05 | 95% |
| 2 | 97,72% | 0,0455 | 95,45% |
| 2,326 | 99% | 0,02 | 98% |
| 2,576 | 99,5% | 0,01 | 99% |
| 3 | 99,87% | 0,0027 | 99,73% |
Формула z-оценки
z-оценка (стандартизированная оценка) показывает расстояние между значением и средним, выраженное в стандартных отклонениях.
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
Здесь x – значение, μ – среднее, σ – стандартное отклонение. Перевод в z позволяет сравнивать величины из разных шкал – например, балл за экзамен и рост – на одной общей шкале.
Пример расчета
Среднее по тесту – 70, стандартное отклонение – 10. Вы набрали 85.
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1,5.
- Площадь слева: Φ(1,5) = 0,9332, значит, ваш результат – процентиль 93,32.
- Площадь справа: 1 − 0,9332 = 0,0668, то есть у 6,68 % участников результат выше.
Обратная задача: 95-му процентилю соответствует z = 1,6449, поэтому x = 70 + 1,6449 × 10 ≈ 86,45.
Правило трех сигм
| Интервал | Доля значений |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27 % |
| μ ± 1,96σ | 95 % |
| μ ± 2σ | 95,45 % |
| μ ± 3σ | 99,73 % |
Как пользоваться калькулятором
Выберите, что нужно найти. Введите значение вместе со средним и стандартным отклонением, чтобы получить его z-оценку и процентиль; введите процентиль, чтобы найти соответствующее значение; или введите z-оценку сразу, чтобы узнать вероятности.
Какая вероятность нужна
- Левый хвост P(Z < z): процентиль – доля значений ниже.
- Правый хвост P(Z > z): доля значений выше – одностороннее p-значение для проверки «больше чем».
- Двусторонняя вероятность: шанс отклониться от среднего хотя бы на столько же в любую сторону – p-значение двустороннего z-критерия.
- P(0 < Z < |z|): площадь между средним и z – в российских учебниках это значение функции Лапласа Φ₀(z).
Вероятности рассчитаны в предположении, что данные распределены нормально. Для сильно скошенных данных процентили, найденные по z-оценке, могут вводить в заблуждение.
Частые вопросы
Что показывает z-оценка?
На сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. z = 0 – ровно среднее, z = 1 – на одно стандартное отклонение выше, z = −2 – на два ниже. В нормальном распределении около 68 % значений имеют |z| < 1, 95 % – |z| < 1,96 и 99,7 % – |z| < 3.
Как перевести z-оценку в процентиль?
Процентиль – это площадь под кривой стандартного нормального распределения левее z, то есть Φ(z), умноженная на 100. Для z = 1,5 получаем Φ(1,5) = 0,9332, процентиль 93,32. Калькулятор вычисляет Φ точно, поэтому таблица не нужна.
Может ли z-оценка быть отрицательной?
Да: отрицательная z-оценка означает, что значение ниже среднего. z = −1,5 – это процентиль 6,68, зеркальное отражение z = 1,5.
Какая z-оценка считается «хорошей»?
Зависит от задачи. В тестах z выше 1 (примерно лучшие 16 %) – результат выше среднего, а выше 2 (примерно лучшие 2,3 %) – исключительный. В контроле качества и статистике значения с |z| больше 1,96 или 3 часто считают необычными или выбросами.
Оцените калькулятор z-оценки
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.