📊 Калькулятор доверительного интервала
Введите выборочное среднее и стандартное отклонение или число успехов и получите интервал, предельную ошибку и критическое значение, на котором он строится.
Коротко: При выборочном среднем 50, s = 8 и n = 25 95-процентный доверительный интервал равен 50 ± 2,0639 × 8 ÷ √25 = 50 ± 3,3022, то есть от 46,6978 до 53,3022.
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор доверительного интервала: исходные данные
Результат
Доверительный интервал 95% для среднего
от 46,6978 до 53,3022
50 ± 3,3022
- Предельная ошибка
- ±3,3022
- Критическое значение t* (ст. св. = 24)
- 2,0639
- Стандартная ошибка
- 1,6
Пошагово
- Критическое значение для уровня доверия 95%: t* (ст. св. = 24) = 2,0639
- Стандартная ошибка: s ÷ √n = 8 ÷ √25 = 1,6
- Предельная ошибка: 2,0639 × 1,6 = 3,302238
- Интервал: 50 ± 3,3022 = [46,6978; 53,3022]
С уверенностью 95% можно утверждать, что интервал от 46,6978 до 53,3022 содержит истинное среднее генеральной совокупности.
Те же данные при других уровнях доверия
| Уровень доверия | Критическое значение | Предельная ошибка | Интервал |
|---|---|---|---|
| 80% | 1,3178 | ±2,1085 | от 47,8915 до 52,1085 |
| 85% | 1,4871 | ±2,3794 | от 47,6206 до 52,3794 |
| 90% | 1,7109 | ±2,7374 | от 47,2626 до 52,7374 |
| 95% | 2,0639 | ±3,3022 | от 46,6978 до 53,3022 |
| 98% | 2,4922 | ±3,9875 | от 46,0125 до 53,9875 |
| 99% | 2,7969 | ±4,4751 | от 45,5249 до 54,4751 |
| 99,9% | 3,7454 | ±5,9926 | от 44,0074 до 55,9926 |
Формулы доверительного интервала
Среднее: x̄ ± t* × s ÷ √n · x̄ ± z* × σ ÷ √n · Доля: p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)
Слагаемое после ± — это предельная ошибка: критическое значение, умноженное на стандартную ошибку.
Пример расчета
Выборка из 25 наблюдений имеет среднее 50 и стандартное отклонение 8. Найдем 95-процентный интервал для среднего генеральной совокупности.
- σ неизвестна, поэтому берем t с 25 − 1 = 24 степенями свободы: t* = 2,0639.
- Стандартная ошибка = 8 ÷ √25 = 1,6.
- Предельная ошибка = 2,0639 × 1,6 = 3,3022.
- Интервал = 50 ± 3,3022 = от 46,6978 до 53,3022.
С z вместо t (1,96 × 1,6 = 3,136) интервал получился бы чуть уже — поэтому z на малой выборке преувеличивает точность оценки.
Критические значения
| Уровень доверия | z* | t* (ст. св. = 10) | t* (ст. св. = 30) |
|---|---|---|---|
| 80% | 1,2816 | 1,3722 | 1,3104 |
| 90% | 1,6449 | 1,8125 | 1,6973 |
| 95% | 1,9600 | 2,2281 | 2,0423 |
| 98% | 2,3263 | 2,7638 | 2,4573 |
| 99% | 2,5758 | 3,1693 | 2,7500 |
Ст. св. — число степеней свободы.
Как пользоваться калькулятором
Выберите, что вы оцениваете: среднее или долю. Для среднего введите выборочное среднее, стандартное отклонение и объем выборки; для доли — число успехов и объем выборки. Укажите уровень доверия, и интервал, предельная ошибка и ход расчета сразу появятся на экране.
Допущения
- Выборка случайная, наблюдения независимы.
- Для среднего: данные распределены примерно нормально или выборка достаточно велика (около 30 наблюдений и больше), чтобы работала центральная предельная теорема.
- Для доли: интервалу Вальда нужно не менее примерно 10 успехов и 10 неудач; иначе опирайтесь на интервал Уилсона.
Частые вопросы
Что использовать: z или t?
Используйте t всякий раз, когда разброс оценивается по самой выборке (обычный случай): интервал становится шире с учетом дополнительной неопределенности, число степеней свободы равно n − 1. z подходит, только если стандартное отклонение генеральной совокупности σ действительно известно. На больших выборках разница почти исчезает.
Что означает 95-процентный доверительный интервал?
Если много раз повторить выборку и каждый раз строить интервал, примерно 95% таких интервалов накроют истинное значение для генеральной совокупности. Это не значит, что с вероятностью 95% именно этот интервал его содержит.
Какой интервал выбрать для доли: Вальда или Уилсона?
Интервал Вальда p̂ ± z√(p̂(1−p̂)/n) — формула из учебника, но на малых выборках и при долях, близких к 0% или 100%, он работает плохо и может даже уйти ниже нуля. Интервал Уилсона накрывает истинное значение гораздо надежнее, и в таких случаях рекомендуется именно он.
Как сузить интервал?
Увеличьте объем выборки (погрешность убывает пропорционально √n, так что при вчетверо большей выборке она вдвое меньше), согласитесь на более низкий уровень доверия или уменьшите разброс измерений.
Оцените калькулятор доверительного интервала
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.