🔢 Калькулятор НОД и НОК
Введите два или больше натуральных чисел через запятую или пробел. Каждое раскладывается на степени простых чисел – видно, какие множители дают наибольший общий делитель, а какие – наименьшее общее кратное.
Коротко: Для 12, 18 и 30 НОД равен 6, а НОК – 180: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² и 30 = 2 × 3 × 5, поэтому НОД = 2 × 3, а НОК = 2² × 3² × 5.
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор НОД и НОК: исходные данные
Результат
НОД и НОК чисел 12, 18, 30
НОД = 6 · НОК = 180
- Наибольший общий делитель (НОД)
- 6
- Наименьшее общее кратное (НОК)
- 180
- Взаимно простые?
- Нет
Пошагово
- Запишите каждое число как произведение степеней простых чисел (см. таблицу)
- НОД: берем каждый простой множитель, который есть во всех числах, в наименьшей степени: 2 × 3 = 6
- НОК: берем все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном числе, в наибольшей степени: 2² × 3² × 5 = 180
Разложение на простые множители
| Число | Разложение на простые множители |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
Определения
Наибольший общий делитель (НОД) – самое большое число, на которое без остатка делится каждое число из списка. Наименьшее общее кратное (НОК) – самое маленькое натуральное число, которое без остатка делится на каждое число из списка.
Метод разложения на простые множители
Разложите каждое число на степени простых чисел. Тогда:
НОД = произведение общих простых множителей в наименьшей степени · НОК = произведение всех простых множителей в наибольшей степени
Пример: 12, 18 и 30
| Число | Простые множители |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- Простые множители, общие для всех трех чисел: 2 и 3, наименьшие степени – 2¹ и 3¹ → НОД = 6.
- Все простые множители в наибольших степенях: 2², 3², 5 → НОК = 4 × 9 × 5 = 180.
Алгоритм Евклида
Для двух больших чисел алгоритм Евклида быстрее разложения: большее число раз за разом заменяют остатком от его деления на меньшее, пока остаток не станет равен 0. Для 48 и 18: остаток от деления 48 на 18 равен 12, 18 на 12 – 6, 12 на 6 – 0, значит, НОД = 6. Тогда НОК = 48 × 18 ÷ 6 = 144.
Где это пригодится
- Дроби: на НОД сокращают дробь, а НОК знаменателей – это наименьший общий знаменатель.
- Раскрой и укладка плитки: НОД дает сторону самой большой квадратной плитки, которая укладывается в прямоугольник без обрезков.
- Циклы: НОК показывает, когда повторяющиеся события снова совпадут.
Полезно знать
- НОД не может быть больше наименьшего из чисел, а НОК не может быть меньше наибольшего.
- Калькулятор принимает до 20 натуральных чисел, каждое – до одного триллиона, и точно вычисляет НОК, даже если оно огромное.
Частые вопросы
НОД и наибольший общий множитель – это одно и то же?
Да. Наибольший общий делитель (НОД) иногда называют наибольшим общим множителем: это самое большое натуральное число, на которое все данные числа делятся без остатка.
Для чего нужно НОК?
Наименьшее общее кратное дает наименьший общий знаменатель при сложении дробей и помогает решать задачи на расписание: если один автобус ходит каждые 12 минут, а другой – каждые 18, они встречаются каждые НОК(12, 18) = 36 минут.
Есть ли простая формула, связывающая НОК и НОД?
Для двух чисел НОК(a, b) × НОД(a, b) = a × b. Поэтому НОК(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36. Для трех и более чисел эта формула напрямую не работает.
Что значит, если НОД равен 1?
Числа взаимно простые: у них нет общих делителей, кроме 1, как у 8 и 15. Их НОК тогда равно просто их произведению – 120.
Оцените калькулятор НОД и НОК
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.