📈 Калькулятор логарифмов
Выберите основание 10, e или 2 либо введите свое. Для всех оснований, кроме e, показан шаг логₑ(x) ÷ логₑ(b), чтобы результат можно было проверить на обычном инженерном калькуляторе.
Коротко: лог₁₀(1000) = 3, потому что 10³ = 1000. Натуральный логарифм этого числа логₑ(1000) ≈ 6,907755279, а для любого основания работает формула перехода: логᵦ(x) = логₑ(x) ÷ логₑ(b).
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор логарифмов: исходные данные
Результат
лог₁₀(1 000)
= 3
потому что 10^3 = 1 000
- лог₁₀(x)
- 3
- логₑ(x)
- 6,907755279
- лог₂(x)
- 9,9657842847
Пошагово
- По определению: лог₁₀(1 000) = y означает, что 10^y = 1 000
- Переход к новому основанию: лог₁₀(1 000) = логₑ(1 000) ÷ логₑ(10) = 6,907755279 ÷ 2,302585093 = 3
- Проверка: 10^3 = 1 000
Что означает логарифм
Логарифм – это операция, обратная возведению в степень. Если b в степени y равно x, то y – логарифм числа x по основанию b:
логᵦ(x) = y ⇔ bʸ = x · логᵦ(x) = логₑ(x) ÷ логₑ(b)
Вторая формула – формула перехода к новому основанию – позволяет вычислить логарифм по любому основанию с помощью одних только натуральных (или десятичных) логарифмов.
Три основных основания
| Основание | Название | Где применяется |
|---|---|---|
| 10 | десятичный логарифм, лог₁₀ | водородный показатель, децибелы, шкала Рихтера, порядки величин |
| e ≈ 2,71828 | натуральный логарифм, логₑ | непрерывный рост, математический анализ, сложные проценты |
| 2 | двоичный логарифм, лог₂ | информатика, биты, деление пополам и удвоение |
Пример
лог₁₀(1000) = 3, потому что 10 × 10 × 10 = 1000. Для своего основания возьмем лог₃(81): логₑ 81 ≈ 4,394449, логₑ 3 ≈ 1,098612; при делении получается ровно 4, и действительно 3⁴ = 81.
Свойства логарифмов
- Логарифм произведения: лог(a · b) = лог a + лог b
- Логарифм частного: лог(a ÷ b) = лог a − лог b
- Логарифм степени: лог(aⁿ) = n × лог a
- Особые значения: логᵦ(1) = 0 и логᵦ(b) = 1 для любого допустимого основания
Полезно знать
- Число должно быть больше 0, а основание – положительным и не равным 1.
- Логарифмы чисел от 0 до 1 отрицательны: лог₁₀(0,01) = −2.
- Чтобы решить уравнение bˣ = y относительно x, прологарифмируйте его: x = логₑ(y) ÷ логₑ(b). Это удобно для вопросов вроде «через сколько лет мои деньги удвоятся?».
- Каждая единица десятичного логарифма – это множитель 10, поэтому у землетрясения магнитудой 6 амплитуда колебаний в десять раз больше, чем у землетрясения магнитудой 5.
Частые вопросы
Что такое логарифм?
Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число?». лог₂(8) = 3, потому что 2³ = 8. Логарифмы превращают умножение в сложение, поэтому их так широко используют в науке, финансах и информатике.
Чем десятичный логарифм отличается от натурального?
Десятичный логарифм – это логарифм по основанию 10, а натуральный – по основанию e ≈ 2,718281828. В российских учебниках у них разные обозначения, но во многих языках программирования и в зарубежной литературе логарифм без указания основания означает именно натуральный – смотрите по контексту.
Как вычислить логарифм по другому основанию?
Воспользуйтесь формулой перехода к новому основанию: логᵦ(x) = логₑ(x) ÷ логₑ(b) (или лог₁₀(x) ÷ лог₁₀(b)). Например, лог₃(81) = логₑ 81 ÷ логₑ 3 = 4,394449 ÷ 1,098612 = 4.
Почему нельзя взять логарифм нуля или отрицательного числа?
Положительное основание в любой действительной степени дает положительное число, поэтому никакой показатель не даст 0 или отрицательное значение. Там логарифм не определен, а при приближении x к 0 он стремится к минус бесконечности.
Оцените калькулятор логарифмов
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.