🔺 Калькулятор треугольника
Обозначьте известное – стороны a, b, c и противолежащие им углы A, B, C, – и недостающие значения будут найдены по теореме синусов или косинусов, с подробным решением.
Коротко: У треугольника со сторонами 3, 4 и 5 углы равны 36,87°, 53,13° и 90°, площадь – 6, периметр – 12: это прямоугольный разносторонний треугольник.
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор треугольника: исходные данные
Результат
Решение: прямоугольный разносторонний треугольник
A = 36,87°, B = 53,13°, C = 90°
Стороны 3; 4; 5
- Площадь
- 6
- Периметр
- 12
- Вид
- Прямоугольный разносторонний
| Стороны a, b, c | 3; 4; 5 |
| Углы A, B, C | 36,8699°; 53,1301°; 90° |
| Углы в радианах | 0,6435; 0,9273; 1,5708 |
| Высоты hₐ, h_b, h_c | 4; 3; 2,4 |
| Полупериметр p | 6 |
| Радиус вписанной окружности r = площадь ÷ p | 1 |
| Радиус описанной окружности R = a ÷ (2 синус A) | 2,5 |
Пошагово
- Теорема косинусов: A = арккосинус((b² + c² − a²) ÷ 2·b·c) = арккосинус((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = 36,8699°
- B = арккосинус((a² + c² − b²) ÷ 2·a·c) = 53,1301°
- C = 180° − A − B = 90°
- Площадь (формула Герона): √(p(p − a)(p − b)(p − c)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Периметр: 3 + 4 + 5 = 12
Как решить треугольник
Обозначьте стороны a, b и c, а противолежащие им углы – A, B и C. Выберите случай, который соответствует известным данным, и введите три значения – остальное калькулятор найдет сам.
Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2·a·b·косинус C · Теорема синусов: a ÷ синус A = b ÷ синус B = c ÷ синус C
| Известно | Способ |
|---|---|
| Три стороны | Теорема косинусов для каждого угла |
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов для третьей стороны, затем углы |
| Два угла и сторона | Третий угол = 180° − A − B, затем теорема синусов |
| Две стороны и угол не между ними | Теорема синусов; решений может быть 0, 1 или 2 |
Пример решения (три стороны)
Стороны 3, 4 и 5:
- A = арккосинус((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = арккосинус(0,8) = 36,87°.
- B = арккосинус((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5)) = арккосинус(0,6) = 53,13°.
- C = 180° − 36,87° − 53,13° = 90°, значит, треугольник прямоугольный.
- Полупериметр равен 6, поэтому площадь = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, а периметр – 12.
Виды треугольников
- По сторонам: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две равны), разносторонний (равных нет).
- По углам: остроугольный (все углы меньше 90°), прямоугольный (один угол ровно 90°), тупоугольный (один больше 90°).
Проверка
- Сумма трех углов всегда равна 180°.
- Неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей, поэтому треугольника со сторонами 2, 3 и 6 не существует.
- Против большей стороны всегда лежит больший угол.
Частые вопросы
Какие наборы данных можно ввести?
Нужно знать три элемента: три стороны; две стороны и угол между ними; сторону и два прилежащих к ней угла; два угла и сторону, не лежащую между ними; или две стороны и угол, не лежащий между ними. Любой из этих наборов однозначно задает треугольник, кроме последнего: он может дать ни одного, один или два треугольника.
Почему две стороны и угол не между ними могут дать два треугольника?
Если известны две стороны и угол, не лежащий между ними, третья вершина иногда может занять два положения. Теорема синусов дает синус B, и подходить могут как B, так и 180° − B. Это так называемый неоднозначный случай; калькулятор показывает оба треугольника, если они существуют.
Почему нельзя решить треугольник по трем углам?
Три угла задают форму, но не размер: у любой увеличенной или уменьшенной копии углы те же. Нужна хотя бы одна сторона.
Как вычисляется площадь?
Когда известны все три стороны, калькулятор применяет формулу Герона: площадь = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p – полупериметр. Равносильные формулы – ½·a·b·синус C и ½ × основание × высота.
Оцените калькулятор треугольника
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.