📐 Решение квадратных уравнений
Введите коэффициенты a, b и c. По дискриминанту сразу видно, какие будут корни, а пошаговое решение показывает, как к ним приводит формула.
Коротко: Для x² − 3x + 2 = 0 дискриминант равен (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1, поэтому по формуле корней x = (3 ± 1) ÷ 2: корни x = 2 и x = 1, а вершина параболы – (1,5; −0,25).
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Решение квадратных уравнений: исходные данные
Результат
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2; x₂ = 1
Два различных действительных корня (дискриминант > 0)
- Дискриминант (b² − 4·a·c)
- 1
- Вершина параболы
- (1,5; −0,25)
- Ось симметрии
- x = 1,5
| Ветви параболы | Направлены вверх (минимум в вершине) |
| Пересечение с осью y | (0; 2) |
| Сумма корней (−b/a) | 3 |
| Произведение корней (c/a) | 2 |
Пошагово
- Выписываем коэффициенты: a = 1; b = −3; c = 2
- Дискриминант: D = b² − 4·a·c = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- Формула корней: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- Корни: x₁ = 2; x₂ = 1
- Вершина: x = −b ÷ 2a = 1,5; y = c − b² ÷ 4a = −0,25
Формула корней квадратного уравнения
Любое уравнение вида a·x² + b·x + c = 0, где a ≠ 0, решается по одной формуле:
x = ( −b ± √(b² − 4·a·c) ) ÷ 2a
Выражение под корнем, D = b² − 4·a·c, называется дискриминантом. Еще до конца расчета он подсказывает, каких решений ждать.
| Дискриминант | Корни | График |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных действительных корня | Дважды пересекает ось x |
| D = 0 | Один корень (два совпадающих) | Касается оси x в вершине |
| D < 0 | Два комплексно-сопряженных корня | Не пересекает ось x |
Пример решения
Решим x² − 3x + 2 = 0. Здесь a = 1, b = −3, c = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 и x₂ = 2 ÷ 2 = 1.
Проверка разложением на множители: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Вершина лежит ровно посередине между корнями, в x = 1,5, где y = −0,25.
Вершина и симметрия
Парабола y = a·x² + b·x + c поворачивает в точке x = −b ÷ 2a. Подставив это значение обратно, получаем ординату вершины: c − b² ÷ 4a. По теореме Виета сумма корней всегда равна −b/a, а произведение – c/a; так удобно быстро проверить ответ.
Советы
- Прежде чем выписывать a, b и c, приведите уравнение к виду, где в одной части стоит ноль.
- Следите за знаками: если в уравнении есть «− 5x», то b = −5.
- При небольших числах сначала попробуйте разложить на множители, а если не выходит – используйте формулу.
- Калькулятор применяет численно устойчивый вариант формулы, поэтому остается точным, даже когда b² намного больше 4·a·c.
Частые вопросы
Что показывает дискриминант?
Дискриминант D = b² − 4·a·c определяет, какие у уравнения корни. При D > 0 их два разных действительных, при D = 0 – один (два совпадающих), а при D < 0 – два комплексно-сопряженных, и парабола не пересекает ось x.
Как ввести уравнение вида 2x² = 8?
Сначала перенесите все члены в одну сторону: 2x² − 8 = 0. Тогда a = 2, b = 0, c = −8, а корни равны x = 2 и x = −2.
Что такое комплексные корни?
Если дискриминант отрицательный, корень из D – мнимое число. Тогда корни имеют вид p ± q·i, где i = √−1. У уравнения x² + 2x + 5 = 0 это −1 + 2i и −1 − 2i.
Что такое вершина параболы?
Это точка поворота графика y = a·x² + b·x + c, она находится в x = −b / 2a. При a > 0 это минимум, при a < 0 – максимум, а график симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину.
Оцените решение квадратных уравнений
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.