📉 Калькулятор стандартного отклонения
Вставьте числа через запятую, пробел или с новой строки. Для каждого значения показаны отклонение от среднего и его квадрат, так что ход вычислений легко проверить или перенести в домашнее задание.
Коротко: Для генеральной совокупности 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 среднее равно 5, сумма квадратов отклонений – 32, значит, дисперсия равна 32 ÷ 8 = 4, а стандартное отклонение – √4 = 2.
Оценок пока нет · Обновлено · Бесплатно · Без регистрации
Калькулятор стандартного отклонения: исходные данные
Результат
Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ)
2
- Дисперсия (σ²)
- 4
- Среднее
- 5
- Количество
- 8
- Сумма квадратов отклонений
- 32
- Коэффициент вариации
- 40%
Пошагово
- Среднее: 40 ÷ 8 = 5
- Вычитаем среднее из каждого значения и возводим разность в квадрат (см. таблицу ниже)
- Складываем квадраты: Σ(x − среднее)² = 32
- Делим на N = 8: дисперсия = 32 ÷ 8 = 4
- Извлекаем квадратный корень: σ = √4 = 2
Отклонения от среднего (5)
| # | x | x − среднее | (x − среднее)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −3 | 9 |
| 2 | 4 | −1 | 1 |
| 3 | 4 | −1 | 1 |
| 4 | 4 | −1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 5 | 0 | 0 |
| 7 | 7 | 2 | 4 |
| 8 | 9 | 4 | 16 |
Что показывает стандартное отклонение
Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем значения набора данных удалены от своего среднего. Маленькое значение означает, что данные сгруппированы плотно, большое – что они разбросаны. Если распределение близко к нормальному (колоколообразному), примерно 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего и около 95% – в пределах двух.
Формулы
σ = √( Σ(x − μ)² ÷ N ) · s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
σ – стандартное отклонение генеральной совокупности, s – выборочное стандартное отклонение. Различаются они только делителем.
Пошаговый расчет
- Найдите среднее арифметическое данных.
- Вычтите среднее из каждого значения – получится отклонение.
- Возведите каждое отклонение в квадрат, чтобы отрицательные не гасили положительные.
- Сложите квадраты – это сумма квадратов отклонений.
- Разделите ее на N (генеральная совокупность) или на n − 1 (выборка) – получится дисперсия.
- Извлеките квадратный корень – это и есть стандартное отклонение.
Пример расчета
Данные: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (генеральная совокупность из 8 значений). Среднее равно 40 ÷ 8 = 5.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 (×3) | −1 | по 1 |
| 5 (×2) | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Сумма квадратов равна 32. Дисперсия генеральной совокупности = 32 ÷ 8 = 4, значит, σ = 2. Если считать эти данные выборкой, дисперсия составит 32 ÷ 7 ≈ 4,571, а s ≈ 2,138.
Полезно знать
- Стандартное отклонение всегда больше или равно нулю и выражается в тех же единицах, что и данные.
- Оно чувствительно к выбросам: одно экстремальное значение может заметно его увеличить.
- Вводите числа через запятую, пробел или с новой строки, без разделителей тысяч; дробную часть отделяйте точкой.
Частые вопросы
Какое стандартное отклонение выбрать: выборочное или для генеральной совокупности?
Формулу для генеральной совокупности (деление на N) используйте, когда данные охватывают всех членов интересующей вас группы, например всех учеников одного класса. Выборочную формулу (деление на n − 1) – когда данные лишь часть большей группы и по ним оценивают всю группу. В исследованиях и опросах так бывает чаще всего.
Почему в выборочной формуле делят на n − 1?
Значения выборки лежат ближе к собственному среднему, чем к истинному среднему генеральной совокупности, поэтому деление на n занижало бы разброс. Деление на n − 1 (поправка Бесселя) устраняет это смещение в оценке дисперсии.
Чем дисперсия отличается от стандартного отклонения?
Дисперсия – это средний квадрат отклонения от среднего, а стандартное отклонение – квадратный корень из нее. Стандартное отклонение проще толковать: оно выражено в тех же единицах, что и данные.
Какое стандартное отклонение считается большим?
Это зависит от масштаба данных. Сравните его со средним через коэффициент вариации (стандартное отклонение ÷ среднее): меньше примерно 10% – данные плотно сгруппированы, больше примерно 30% – сильно разбросаны.
Оцените калькулятор стандартного отклонения
На сайте показывается только средняя оценка. Сообщения об ошибках приходят прямо к нам на почту — мы их проверим и исправим. Подробнее: Методология и политика конфиденциальности.