📐 Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Introduce los coeficientes a, b y c. El discriminante te dice qué tipo de raíces esperar, y el desarrollo muestra cómo llega a ellas la fórmula general.
Respuesta rápida: Para x² − 3x + 2 = 0, el discriminante es (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1, así que la fórmula general da x = (3 ± 1) ÷ 2: las raíces son x = 2 y x = 1, y el vértice es (1,5; −0,25).
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Datos: Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Resultado
x² − 3x + 2 = 0
x₁ = 2; x₂ = 1
Dos raíces reales distintas (discriminante > 0)
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- Vértice
- (1,5; −0,25)
- Eje de simetría
- x = 1,5
| La parábola se abre | Hacia arriba (mínimo en el vértice) |
| Corte con el eje y | (0; 2) |
| Suma de las raíces (−b/a) | 3 |
| Producto de las raíces (c/a) | 2 |
Paso a paso
- Se identifican los coeficientes: a = 1; b = −3; c = 2
- Discriminante: D = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1
- Fórmula general: x = (−b ± √D) ÷ 2a = (3 ± √1) ÷ 2
- Raíces: x₁ = 2; x₂ = 1
- Vértice: x = −b ÷ 2a = 1,5; y = c − b² ÷ 4a = −0,25
La fórmula general
Cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0 se resuelve con una sola fórmula:
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
La expresión bajo la raíz, D = b² − 4ac, es el discriminante. Te dice qué tipo de soluciones vas a obtener antes de terminar el cálculo.
| Discriminante | Raíces | Gráfica |
|---|---|---|
| D > 0 | Dos raíces reales distintas | Corta el eje x dos veces |
| D = 0 | Una raíz real doble | Toca el eje x en el vértice |
| D < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | Nunca toca el eje x |
Ejemplo resuelto
Resuelve x² − 3x + 2 = 0. Aquí a = 1, b = −3 y c = 2.
- D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1.
- x = (3 ± √1) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2.
- x₁ = 4 ÷ 2 = 2 y x₂ = 2 ÷ 2 = 1.
Comprobación por factorización: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). El vértice está a mitad de camino entre las raíces, en x = 1,5, donde y = −0,25.
Vértice y simetría
La parábola y = ax² + bx + c cambia de sentido en x = −b ÷ 2a. Al sustituir ese valor se obtiene la coordenada y, c − b² ÷ 4a. La suma de las raíces es siempre −b/a y su producto, c/a: una forma rápida de comprobar tus resultados.
Consejos
- Reordena la ecuación para que un lado sea cero antes de leer a, b y c.
- Cuidado con los signos: si la ecuación tiene «− 5x», entonces b = −5.
- Prueba primero a factorizar cuando los números son pequeños; si no lo son, usa la fórmula.
- La calculadora emplea una versión numéricamente estable de la fórmula, así que mantiene la precisión incluso cuando b² es mucho mayor que 4ac.
Preguntas frecuentes
¿Qué indica el discriminante?
El discriminante D = b² − 4ac determina el tipo de raíces. Si D > 0 hay dos raíces reales distintas; si D = 0, una raíz real doble; y si D < 0, dos raíces complejas conjugadas, y la parábola nunca corta el eje x.
¿Cómo introduzco una ecuación como 2x² = 8?
Primero pasa todos los términos a un mismo lado para que quede 2x² − 8 = 0. Entonces a = 2, b = 0 y c = −8, y las raíces son x = 2 y x = −2.
¿Qué son las raíces complejas?
Cuando el discriminante es negativo, su raíz cuadrada es imaginaria. Las raíces toman entonces la forma p ± qi, donde i = √−1. Para x² + 2x + 5 = 0 son −1 + 2i y −1 − 2i.
¿Qué es el vértice de una parábola?
Es el punto de giro de y = ax² + bx + c, situado en x = −b / 2a. Es el mínimo cuando a > 0 y el máximo cuando a < 0, y la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por él.
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