🔢 Calculadora de mcm y MCD
Escribe dos o más números enteros separados por comas o espacios. Cada uno se descompone en potencias de primos, así ves qué primos fijan el máximo común divisor y cuáles el mínimo común múltiplo.
Respuesta rápida: Para 12, 18 y 30 el MCD es 6 y el mcm es 180: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5, de modo que MCD = 2 × 3 y mcm = 2² × 3² × 5.
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Datos: Calculadora de mcm y MCD
Resultado
MCD y mcm de 12, 18 y 30
MCD = 6 · mcm = 180
- Máximo común divisor (MCD)
- 6
- Mínimo común múltiplo (mcm)
- 180
- ¿Primos entre sí?
- No
Paso a paso
- Escribe cada número como producto de potencias de primos (ver la tabla)
- MCD: toma cada primo que aparece en todos los números, con su menor exponente: 2 × 3 = 6
- mcm: toma todos los primos que aparecen en algún número, con su mayor exponente: 2² × 3² × 5 = 180
Descomposición en factores primos
| Número | Factores primos |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
Definiciones
El máximo común divisor (MCD) es el mayor número que divide exactamente a todos los números de la lista. El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número positivo que es divisible exactamente por todos los números de la lista.
El método de la descomposición en factores primos
Descompón cada número en potencias de primos. Después:
MCD = producto de los primos comunes con su menor exponente · mcm = producto de todos los primos con su mayor exponente
Ejemplo resuelto: 12, 18 y 30
| Número | Factores primos |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 30 | 2 × 3 × 5 |
- Primos presentes en los tres: 2 y 3, con menores exponentes 2¹ y 3¹ → MCD = 6.
- Todos los primos con su mayor exponente: 2², 3², 5 → mcm = 4 × 9 × 5 = 180.
El algoritmo de Euclides
Con dos números grandes, el método de Euclides es más rápido que factorizar: sustituye una y otra vez el número mayor por el resto de dividirlo entre el menor, hasta que el resto sea 0. Para 48 y 18: 48 mod 18 = 12, 18 mod 12 = 6, 12 mod 6 = 0, así que MCD = 6. Luego mcm = 48 × 18 ÷ 6 = 144.
Dónde los usarás
- Fracciones: el MCD simplifica una fracción; el mcm de los denominadores es el mínimo común denominador.
- Baldosas y cortes: el MCD da la baldosa cuadrada más grande que cubre un rectángulo sin sobrantes.
- Ciclos: el mcm indica cuándo vuelven a coincidir dos sucesos que se repiten.
Consejos
- El MCD nunca puede ser mayor que el menor de los números; el mcm nunca puede ser menor que el mayor.
- La calculadora admite hasta 20 números enteros positivos, de hasta un billón cada uno, y calcula el mcm de forma exacta aunque sea enorme.
Preguntas frecuentes
¿Máximo común divisor y máximo común factor son lo mismo?
Sí. Máximo común divisor (MCD) y máximo común factor son dos nombres del mayor número entero que divide a todos los números dados sin dejar resto.
¿Para qué sirve el mínimo común múltiplo?
El mínimo común múltiplo da el mínimo común denominador al sumar fracciones y resuelve problemas de coincidencias: si un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18, coinciden cada mcm(12, 18) = 36 minutos.
¿Hay una fórmula rápida que relacione el mcm y el MCD?
Para dos números, mcm(a, b) × MCD(a, b) = a × b. Así, mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36. Este atajo no sirve directamente para tres o más números.
¿Qué significa que el MCD sea 1?
Que los números son primos entre sí (coprimos): no comparten ningún factor salvo el 1, como 8 y 15. Su mcm es entonces simplemente su producto, 120.
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