🔔 z-स्कोर कैलकुलेटर
z-तालिका की ज़रूरत नहीं: Φ(z) सीधे गणना से निकलता है। कच्चे प्राप्तांक से z और पर्सेंटाइल, z से सिरों की प्रायिकता, या चाहे गए पर्सेंटाइल से उलटा वह प्राप्तांक निकालें जो आपको चाहिए।
संक्षिप्त उत्तर: माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ 85 अंक का z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5 है, जो 93.32 पर्सेंटाइल है: 93.32% मान इससे नीचे और 6.68% ऊपर हैं।
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z-स्कोर कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
85 का z-स्कोर
z = 1.5
माध्य से 1.5 मानक विचलन ऊपर · 93.32 पर्सेंटाइल
- पर्सेंटाइल
- 93.32
- P(Z < z) – बायाँ सिरा
- 0.933193
- P(Z > z) – दायाँ सिरा
- 0.066807
| द्वि-पुच्छीय P(|Z| > |z|) | 0.133614 |
| P(−1.5 < Z < 1.5) | 0.866386 |
| P(0 < Z < |z|) | 0.433193 |
| नीचे / ऊपर के मानों का हिस्सा | 93.32% / 6.68% |
चरण-दर-चरण हल
- z = (x − μ) ÷ σ = (85 − 70) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1.5
- बायाँ सिरा: P(Z < 1.5) = Φ(1.5) = 0.933193 → 93.32 पर्सेंटाइल
- दायाँ सिरा: P(Z > 1.5) = 1 − 0.933193 = 0.066807
- द्वि-पुच्छीय: 2 × P(Z > 1.5) = 0.133614
आम z-स्कोर
| z | पर्सेंटाइल (बायाँ सिरा) | द्वि-पुच्छीय p-मान | ±z के भीतर |
|---|---|---|---|
| 0 | 50% | 1 | 0% |
| 0.5 | 69.15% | 0.617075 | 38.29% |
| 1 | 84.13% | 0.317311 | 68.27% |
| 1.282 | 90% | 0.200001 | 80% |
| 1.5 | 93.32% | 0.133614 | 86.64% |
| 1.645 | 95% | 0.100001 | 90% |
| 1.96 | 97.5% | 0.05 | 95% |
| 2 | 97.72% | 0.0455 | 95.45% |
| 2.326 | 99% | 0.02 | 98% |
| 2.576 | 99.5% | 0.01 | 99% |
| 3 | 99.87% | 0.0027 | 99.73% |
z-स्कोर का सूत्र
z-स्कोर (मानक प्राप्तांक) किसी मान और माध्य के बीच की दूरी को मानक विचलन की इकाई में नापता है।
z = (x − μ) ÷ σ · x = μ + z·σ
यहाँ x मान है, μ माध्य और σ मानक विचलन। z में बदलने से अलग-अलग पैमानों के मानों की तुलना एक ही पैमाने पर हो जाती है – जैसे परीक्षा के अंक और किसी की लंबाई।
हल किया गया उदाहरण
एक परीक्षा का माध्य 70 और मानक विचलन 10 है। आपके 85 अंक आए।
- z = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5।
- बाईं ओर का क्षेत्रफल: Φ(1.5) = 0.9332, यानी आप 93.32 पर्सेंटाइल पर हैं।
- दाईं ओर का क्षेत्रफल: 1 − 0.9332 = 0.0668, यानी 6.68% के अंक आपसे ज़्यादा आए।
उलटी दिशा में: 95 पर्सेंटाइल पर z = 1.6449 है, इसलिए x = 70 + 1.6449 × 10 ≈ 86.45।
अनुभवजन्य नियम
| सीमा | मानों का हिस्सा |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% |
| μ ± 1.96σ | 95% |
| μ ± 2σ | 95.45% |
| μ ± 3σ | 99.73% |
कैलकुलेटर कैसे इस्तेमाल करें
चुनें कि क्या निकालना है। कोई मान, माध्य और मानक विचलन डालकर उसका z-स्कोर और पर्सेंटाइल पाएँ; पर्सेंटाइल डालकर उससे मेल खाता मान पाएँ; या सीधे z-स्कोर डालकर प्रायिकताएँ पढ़ें।
मुझे कौन-सी प्रायिकता चाहिए?
- बायाँ सिरा P(Z < z): पर्सेंटाइल – इससे नीचे के मानों का हिस्सा।
- दायाँ सिरा P(Z > z): इससे ऊपर के मानों का हिस्सा – "से ज़्यादा" वाले परीक्षण का एक-पुच्छीय p-मान।
- द्वि-पुच्छीय: किसी भी दिशा में माध्य से कम से कम इतनी दूरी पर होने की प्रायिकता – दो-तरफ़ा z-परीक्षण का p-मान।
ये प्रायिकताएँ मानकर चलती हैं कि डेटा प्रसामान्य रूप से बंटित है। बहुत तिरछे डेटा के लिए z-स्कोर से निकले पर्सेंटाइल भ्रामक हो सकते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
z-स्कोर क्या बताता है?
कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है। z = 0 ठीक औसत है, z = 1 माध्य से एक मानक विचलन ऊपर और z = −2 दो नीचे। प्रसामान्य बंटन में लगभग 68% मानों का |z| < 1, 95% का |z| < 1.96 और 99.7% का |z| < 3 होता है।
z-स्कोर को पर्सेंटाइल में कैसे बदलें?
पर्सेंटाइल मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के बाईं ओर का क्षेत्रफल Φ(z) है, 100 से गुणा करके। z = 1.5 पर Φ(1.5) = 0.9332, यानी 93.32 पर्सेंटाइल। कैलकुलेटर Φ को सटीक रूप से निकालता है, इसलिए z-तालिका की ज़रूरत नहीं पड़ती।
क्या z-स्कोर ऋणात्मक हो सकता है?
हाँ – ऋणात्मक z-स्कोर का मतलब है कि मान माध्य से नीचे है। z = −1.5, 6.68 पर्सेंटाइल है, यानी z = 1.5 का ठीक उलटा।
"अच्छा" z-स्कोर कितना होता है?
यह संदर्भ पर निर्भर है। परीक्षाओं में 1 से ऊपर का z (ऊपर के लगभग 16%) औसत से बेहतर और 2 से ऊपर (ऊपर के लगभग 2.3%) असाधारण माना जाता है। गुणवत्ता नियंत्रण या सांख्यिकी में 1.96 या 3 से ज़्यादा |z| को अक्सर असामान्य या बाहरी मान (आउटलायर) माना जाता है।
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