📏 पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर
समकोण त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ लिखें, हम तीसरी निकाल देंगे – कर्ण हो या छूटी हुई भुजा – और साथ में दोनों न्यूनकोण, क्षेत्रफल और परिमाप भी।
संक्षिप्त उत्तर: कर्ण c = √(a² + b²) होता है। जिस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 3 और 4 हों, उसके लिए c = √(9 + 16) = √25 = 5।
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पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
कर्ण
c = 5
- भुजाएँ
- 3, 4, 5
- क्षेत्रफल (½ × a × b)
- 6
- परिमाप
- 12
- a के सामने का कोण
- 36.8699°
- b के सामने का कोण
- 53.1301°
चरण-दर-चरण हल
- पाइथागोरस प्रमेय: c = √(a² + b²)
- भुजाओं के वर्ग: 3² = 9, 4² = 16
- जोड़ें: 9 + 16 = 25
- वर्गमूल: c = √25 = 5
प्रमेय
जिस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a और b हों और कर्ण c हो (कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होता है, समकोण के ठीक सामने):
a² + b² = c² · c = √(a² + b²) · b = √(c² − a²)
कर्ण निकालना
उदाहरण: भुजाएँ 3 और 4। इनके वर्ग 9 और 16 हैं। जोड़ने पर 25। वर्गमूल लेने पर c = 5। यह 3-4-5 त्रिभुज सबसे प्रसिद्ध पाइथागोरस त्रिक है, जिससे राजमिस्त्री हज़ारों वर्षों से दीवारों के कोने ठीक 90° पर साधते आए हैं।
भुजा निकालना
उदाहरण: 10 फ़ुट लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और उसका निचला सिरा दीवार से 6 फ़ुट दूर है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? b = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 फ़ुट।
प्रचलित पाइथागोरस त्रिक
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
छूटी हुई भुजा के आगे
तीनों भुजाएँ मालूम होते ही कैलकुलेटर क्षेत्रफल (½ × a × b, क्योंकि दोनों भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं), परिमाप और दोनों न्यूनकोण भी बताता है। कोण प्रतिलोम स्पर्शज्या से निकलते हैं: a के सामने का कोण वह कोण है जिसकी स्पर्शज्या a ÷ b हो। दोनों न्यूनकोणों का योग हमेशा 90° होता है।
सुझाव
- हर भुजा एक ही इकाई में लिखें – उत्तर भी उसी इकाई में आएगा।
- कर्ण दोनों भुजाओं में से हर एक से लंबा होना चाहिए; अगर ऐसा नहीं है, तो ये संख्याएँ समकोण त्रिभुज नहीं बना सकतीं।
- कोई त्रिभुज समकोण है या नहीं, यह जाँचने के लिए देखें कि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर है या नहीं।
- दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी भी इसी विचार से निकलती है: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण (समकोण के सामने की भुजा) का वर्ग बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c²। यह केवल उन्हीं त्रिभुजों पर लागू होता है जिनमें एक कोण 90° का हो।
कर्ण के बजाय छूटी हुई भुजा कैसे निकालें?
सूत्र को b = √(c² − a²) के रूप में लिखें। कर्ण 13 और एक भुजा 5 हो, तो दूसरी भुजा √(169 − 25) = √144 = 12 होगी। "क्या निकालें" मेनू में "एक भुजा" चुनें।
पाइथागोरस त्रिक क्या होते हैं?
पूर्ण संख्याओं के ऐसे तीन-तीन के समूह जो a² + b² = c² को संतुष्ट करते हैं, जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25। किसी त्रिक का कोई भी गुणज, जैसे 6-8-10, भी त्रिक होता है।
उत्तर में 5√2 जैसा वर्गमूल क्यों दिखता है?
जब नतीजा पूर्ण संख्या न हो, तो कैलकुलेटर सरलतम करणी के रूप में सटीक मान भी देता है। भुजाएँ 5 और 5 हों, तो c = √50 = 5√2 ≈ 7.071068।
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