🔍 अभाज्य संख्या जाँचक
कोई पूर्ण संख्या लिखें और देखें कि वह अभाज्य है या नहीं। अगर नहीं है, तो उसका अभाज्य गुणनखंडन मिलेगा; और दोनों ही सूरतों में उसके ठीक पहले और बाद की अभाज्य संख्याएँ भी।
संक्षिप्त उत्तर: 97 अभाज्य है: 2 से 9 तक की कोई भी पूर्ण संख्या (√97 ≈ 9.8489) इसे पूरा-पूरा नहीं बाँटती। इसके उलट, 91 अभाज्य नहीं है, क्योंकि 91 = 7 × 13।
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अभाज्य संख्या जाँचक के इनपुट
परिणाम
क्या यह अभाज्य है?
97 एक अभाज्य संख्या है
इसके भाजक केवल 1 और 97 हैं।
- सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड
- 97
- अभाज्य गुणनखंडन
- 97
- भाजकों की संख्या
- 2
- पिछली अभाज्य संख्या
- 89
- अगली अभाज्य संख्या
- 101
चरण-दर-चरण हल
- √97 ≈ 9.8489, इसलिए केवल 9 तक के भाजक जाँचने हैं
- 2 से 9 तक की कोई भी पूर्ण संख्या 97 को पूरा-पूरा नहीं बाँटती, इसलिए यह अभाज्य है
कोई संख्या अभाज्य कब होती है?
अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या है जिसके भाजक केवल 1 और वह स्वयं हों। जिन संख्याओं के इससे ज़्यादा भाजक हों, वे भाज्य कहलाती हैं। 0 और 1 न अभाज्य हैं, न भाज्य।
n अभाज्य है ⇔ n > 1 और 2 ≤ d ≤ √n वाला कोई पूर्णांक d, n को नहीं बाँटता
सिर्फ़ वर्गमूल तक ही क्यों जाँचें?
अगर n = a × b, तो a और b दोनों √n से बड़े नहीं हो सकते – वरना उनका गुणनफल n से बड़ा हो जाएगा। इसलिए हर भाज्य संख्या का कम से कम एक गुणनखंड उसके वर्गमूल से बड़ा नहीं होता, और खोज वहीं रोकी जा सकती है।
हल किए गए उदाहरण
- 97: √97 ≈ 9.85। 2, 3, 5 और 7 से भाग देकर देखें – कोई भी 97 को नहीं बाँटता, इसलिए यह अभाज्य है।
- 91: √91 ≈ 9.54। 91 ÷ 7 = 13 पूरा-पूरा, इसलिए 91 = 7 × 13 भाज्य है। यह “अभाज्य जैसी दिखने वाली” संख्या का क्लासिक जाल है।
- 360: 2 को तीन बार, 3 को दो बार और 5 को एक बार भाग दें: 360 = 2³ × 3² × 5, और इसके (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 भाजक हैं।
शुरुआती अभाज्य संख्याएँ
| दायरा | अभाज्य संख्याएँ |
|---|---|
| 1–25 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 |
| 26–50 | 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| 51–100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
100 से कम 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, और कुल मिलाकर अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं – यह यूक्लिड ने 2,000 से भी ज़्यादा साल पहले सिद्ध किया था।
विभाज्यता की झटपट जाँच
- 2: इकाई का अंक सम हो।
- 3: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
- 5: संख्या 0 या 5 पर ख़त्म हो।
- 11: एकांतर स्थानों के अंकों के योगों का अंतर 11 से विभाज्य हो।
यह जाँचक एक लाख करोड़ तक की हर पूर्ण संख्या को बिल्कुल सटीक जाँचता है – 2, 3 और 6k ± 1 रूप वाली संख्याओं से भाग देकर।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या 1 अभाज्य संख्या है?
नहीं। अभाज्य संख्या के ठीक दो अलग-अलग भाजक होते हैं – 1 और वह संख्या स्वयं – जबकि 1 का केवल एक भाजक है। 1 को बाहर रखने से अभाज्य गुणनखंडन भी अद्वितीय रहता है – वरना 6 = 2 × 3 × 1 × 1 × … भी लिखा जा सकता था।
क्या 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है?
हाँ। बाक़ी हर सम संख्या 2 से विभाज्य है, इसलिए उसके कम से कम तीन भाजक होते हैं (1, 2 और वह स्वयं)। इसी वजह से 2 सबसे छोटी और अकेली सम अभाज्य संख्या है।
बड़ी संख्या अभाज्य है या नहीं, यह कैसे जाँचें?
उसके वर्गमूल तक की अभाज्य संख्याओं से भाग देकर देखें – अगर कोई भी उसे पूरा नहीं बाँटती, तो वह अभाज्य है। 1,00,00,00,007 के लिए लगभग 31,623 तक के भाजक जाँचने होते हैं, जो यह जाँचक पलक झपकते कर देता है।
अभाज्य गुणनखंडन क्या है?
किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना, जैसे 360 = 2³ × 3² × 5। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का ठीक एक ही अभाज्य गुणनखंडन होता है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)।
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