ⁿ घातांक कैलकुलेटर
आधार और घातांक लिखें – जैसे 3, −2, 0.5 या 2/3 – या n-वाँ मूल चुनें। हल में दिखता है कि कौन-सा घातांक नियम लगा, और पूर्ण संख्या वाली घातों का उत्तर सटीक पूर्णांक में मिलता है।
संक्षिप्त उत्तर: 8^(2/3) का अर्थ है 8 का घनमूल निकालकर उसका वर्ग करना: (∛8)² = 2² = 4; ऋणात्मक घातांक नतीजे को उलट देता है, इसलिए 8^(−2/3) = 1/4 = 0.25।
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घातांक कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
8^(2/3) =
4
- वैज्ञानिक संकेतन
- 4 × 10⁰
- नतीजे का लघुगणक (आधार 10)
- 0.60206
चरण-दर-चरण हल
- भिन्नात्मक घातांक 2/3: पहले घनमूल निकालें, फिर उसकी घात 2 करें
- ∛8 = 2
- 2² = 4
- दशमलव घातांक के रूप में: 8^0.66666667 = 4
घातांक के नियम
| नियम | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणन | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| भागफल | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| घात का घात | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| गुणनफल का घात | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 8 × 125 = 1,000 |
| शून्य घातांक | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| ऋणात्मक घातांक | a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0.125 |
| भिन्नात्मक घातांक | a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ | 8^(2/3) = (∛8)² = 4 |
8 की घातें
| घात | मान |
|---|---|
| 8⁻³ | 0.001953125 |
| 8⁻² | 0.015625 |
| 8⁻¹ | 0.125 |
| 8⁰ | 1 |
| 8¹ | 8 |
| 8² | 64 |
| 8³ | 512 |
| 8⁴ | 4,096 |
| 8⁵ | 32,768 |
| 8¹⁰ | 1,07,37,41,824 |
घातांक का अर्थ
घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार ख़ुद से गुणा करना है: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32। नीचे दिए नियम इसी विचार को शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांकों तक ले जाते हैं।
aⁿ = a × a × … × a (n बार) · a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ · a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
हल किया हुआ उदाहरण
8^(2/3) का मान निकालें:
- हर 3 का मतलब घनमूल है: ∛8 = 2।
- अंश 2 का मतलब वर्ग करना है: 2² = 4।
- इसलिए 8^(2/3) = 4। ऋणात्मक घातांक के साथ 8^(−2/3) = 1 ÷ 4 = 0.25।
घातांक के नियम
| नियम | सूत्र |
|---|---|
| गुणन नियम | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| भागफल नियम | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| घात का घात नियम | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| शून्य घातांक | a⁰ = 1 |
| ऋणात्मक घातांक | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
कैलकुलेटर कैसे इस्तेमाल करें
आधार और घातांक लिखें। घातांक पूर्ण संख्या (3), ऋणात्मक संख्या (−2), दशमलव (0.5) या भिन्न (2/3) हो सकता है। मूल के लिए "n-वाँ मूल" चुनें और संख्या व मूल का घातांक (n) लिखें। हल में दिखता है कि हर नियम कैसे लगाया गया।
मूल भी घातांक हैं
हर मूल एक भिन्नात्मक घात है: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3) और n-वाँ मूल x^(1/n) है। उदाहरण के लिए 32 का 5वाँ मूल (= 2) निकालने के लिए ऊपर "n-वाँ मूल" चुनें। ऋणात्मक संख्याओं के विषम मूल वास्तविक होते हैं; सम मूल नहीं।
बड़े नतीजे
जब आधार और घातांक दोनों पूर्ण संख्याएँ हों, तो कैलकुलेटर वैज्ञानिक संकेतन में पूर्णांकित करने के बजाय सटीक पूर्णांक भी निकालता है, उसमें चाहे कितने भी अंक हों – 2^100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ऋणात्मक घातांक का क्या मतलब है?
ऋणात्मक घातांक का मतलब है धनात्मक घात से "एक को भाग देना": a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ। इसलिए 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0.125। इससे नतीजा ऋणात्मक नहीं हो जाता।
भिन्नात्मक घातांक कैसे काम करते हैं?
हर (नीचे की संख्या) मूल बताता है और अंश (ऊपर की संख्या) घात: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ। 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, और 16^(1/2) बस √16 = 4 है।
किसी भी संख्या की घात 0 करने पर 1 क्यों आता है?
घातों को भाग देने पर घातांक घटते हैं: aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, और कोई भी संख्या ख़ुद से भाग देने पर 1 होती है। 0⁰ को यहाँ अपरिभाषित छोड़ा गया है, हालाँकि कई क्षेत्रों में परिपाटी से इसे 1 माना जाता है।
क्या ऋणात्मक संख्या का भिन्नात्मक घातांक हो सकता है?
केवल तब, जब मूल विषम हो। (−8)^(1/3) = −2, क्योंकि ∛(−8) = −2; पर (−4)^(1/2) = √(−4) का कोई वास्तविक मान नहीं – यह काल्पनिक संख्या 2i है।
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