📏 ढाल कैलकुलेटर
(x₁, y₁) और (x₂, y₂) भरें। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ भी हल होती हैं, और जहाँ संभव हो, ढाल सटीक भिन्न के रूप में दिखाई जाती है।
संक्षिप्त उत्तर: (2, 3) और (6, 11) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल m = (11 − 3) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2 है, इसलिए रेखा y = 2x − 1 है। यह 63.4349° के कोण पर ऊपर उठती है और दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी 8.944272 है।
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ढाल कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
(2, 3) और (6, 11) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल
m = 2
ऊपर उठती रेखा (धनात्मक ढाल)
- ढाल-अंतःखंड रूप
- y = 2x − 1
- झुकाव कोण
- 63.4349°
- दूरी
- 8.944272
- मध्य-बिंदु
- (4, 7)
| बिंदु-ढाल रूप | y − 3 = 2(x − 2) |
| मानक रूप | 2x − y = 1 |
| y-अंतःखंड | (0, −1) |
| x-अंतःखंड | (0.5, 0) |
| ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (Δy) / क्षैतिज परिवर्तन (Δx) | 8 / 4 |
| प्रवणता (ढाल × 100) | 200% |
| बिंदु 1 से होकर जाने वाली लंब रेखा | y = −0.5x + 4 |
चरण-दर-चरण हल
- ऊर्ध्वाधर परिवर्तन: Δy = y₂ − y₁ = 11 − 3 = 8
- क्षैतिज परिवर्तन: Δx = x₂ − x₁ = 6 − 2 = 4
- ढाल: m = Δy ÷ Δx = 8 ÷ 4 = 2
- y-अंतःखंड: b = y₁ − m·x₁ = 3 − 2 × 2 = −1
- समीकरण: y = 2x − 1
- कोण: θ = टैन⁻¹(2) = 63.4349°
- दूरी: √(4² + 8²) = √80 = 8.944272
- मध्य-बिंदु: ((2 + 6) ÷ 2, (3 + 11) ÷ 2) = (4, 7)
ढाल का सूत्र
ढाल बताती है कि रेखा कितनी खड़ी है: x में हर एक इकाई के परिवर्तन पर y कितना बदलता है।
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = ऊर्ध्वाधर परिवर्तन ÷ क्षैतिज परिवर्तन
हल किया हुआ उदाहरण
(2, 3) और (6, 11) से होकर जाने वाली रेखा ज्ञात करें।
- ऊर्ध्वाधर परिवर्तन: 11 − 3 = 8। क्षैतिज परिवर्तन: 6 − 2 = 4।
- ढाल: m = 8 ÷ 4 = 2।
- y-अंतःखंड: b = y₁ − m·x₁ = 3 − 2 × 2 = −1।
- समीकरण: y = 2x − 1 (बिंदु-ढाल रूप: y − 3 = 2(x − 2); मानक रूप: 2x − y = 1)।
- कोण: टैन⁻¹(2) ≈ 63.43°। दूरी: √(4² + 8²) = √80 ≈ 8.944। मध्य-बिंदु: (4, 7)।
कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
दो अलग-अलग बिंदुओं के x और y निर्देशांक भरें। कैलकुलेटर ढाल (दशमलव में और जहाँ संभव हो, सटीक भिन्न में), रेखा का समीकरण तीन रूपों में, दोनों अंतःखंड, कोण, दूरी और मध्य-बिंदु बताता है – हर एक के हल के साथ।
रेखा के समीकरण के रूप
| रूप | समीकरण | किसके लिए सबसे उपयोगी |
|---|---|---|
| ढाल-अंतःखंड रूप | y = mx + b | ग्राफ़ बनाना, अंतःखंड पढ़ना |
| बिंदु-ढाल रूप | y − y₁ = m(x − x₁) | एक बिंदु और ढाल से रेखा लिखना |
| मानक रूप | Ax + By = C | पूर्णांक गुणांक, समीकरण निकाय |
| ऊर्ध्वाधर रेखा | x = a | अपरिभाषित ढाल |
ढाल का अर्थ समझना
- धनात्मक: रेखा बाएँ से दाएँ ऊपर उठती है।
- ऋणात्मक: रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है।
- शून्य: क्षैतिज रेखा। अपरिभाषित: ऊर्ध्वाधर रेखा।
- प्रवणता (ग्रेड) के रूप में (सड़कें, रैंप), ढाल को 100 से गुणा करें: 0.08 की ढाल 8% प्रवणता है।
बिंदुओं के बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है, d = √(Δx² + Δy²), और मध्य-बिंदु निर्देशांकों का औसत होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ढाल का सूत्र क्या है?
ढाल m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), यानी y में परिवर्तन (ऊर्ध्वाधर परिवर्तन) को x में परिवर्तन (क्षैतिज परिवर्तन) से भाग। किसी भी बिंदु को पहला मान सकते हैं, बस अंश और हर में घटाने का क्रम एक जैसा रखें।
अपरिभाषित ढाल का क्या अर्थ है?
अगर दोनों बिंदुओं का x-निर्देशांक समान है तो क्षैतिज परिवर्तन 0 होता है, और 0 से भाग अपरिभाषित है। ऐसी रेखा ऊर्ध्वाधर होती है और उसका समीकरण बस x = अचर होता है। इसके विपरीत, 0 ढाल वाली रेखा क्षैतिज होती है: y = अचर।
ढाल को कोण में कैसे बदलें?
झुकाव कोण θ = टैन⁻¹(m) होता है। ढाल 1 का अर्थ 45° है, ढाल 2 लगभग 63.43° है, और ऋणात्मक ढाल से ऋणात्मक कोण मिलता है (रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है)।
लंब रेखा की ढाल क्या होती है?
यह ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: −1 ÷ m। ढाल 2 वाली रेखा पर लंब रेखा की ढाल −1/2 है। समांतर रेखाओं की ढाल बराबर होती है।
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