📈 लघुगणक (लॉग) कैलकुलेटर
आधार 10, e या 2 चुनें, या अपना आधार लिखें। e के अलावा किसी भी आधार पर नतीजे में लॉगₑ(x) ÷ लॉगₑ(b) वाला चरण दिखता है, ताकि आप उसे साधारण वैज्ञानिक कैलकुलेटर पर जाँच सकें।
संक्षिप्त उत्तर: लॉग₁₀(1000) = 3, क्योंकि 10³ = 1000। इसका प्राकृतिक लघुगणक लॉगₑ(1000) ≈ 6.907755279 है, और आधार परिवर्तन के नियम लॉगᵦ(x) = लॉगₑ(x) ÷ लॉगₑ(b) से कोई भी आधार निकाला जा सकता है।
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लघुगणक (लॉग) कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
लॉग₁₀(1,000)
= 3
क्योंकि 10^3 = 1,000
- लॉग₁₀(x)
- 3
- लॉगₑ(x)
- 6.907755279
- लॉग₂(x)
- 9.9657842847
चरण-दर-चरण हल
- परिभाषा: लॉग₁₀(1,000) = y का अर्थ है 10^y = 1,000
- आधार परिवर्तन: लॉग₁₀(1,000) = लॉगₑ(1,000) ÷ लॉगₑ(10) = 6.907755279 ÷ 2.302585093 = 3
- जाँच: 10^3 = 1,000
लघुगणक का मतलब
लघुगणक घातांक का उलटा है। अगर b की घात y बराबर x हो, तो y आधार b पर x का लघुगणक है:
लॉगᵦ(x) = y ⇔ bʸ = x · लॉगᵦ(x) = लॉगₑ(x) ÷ लॉगₑ(b)
दूसरा सूत्र, यानी आधार परिवर्तन का नियम, किसी भी आधार का लघुगणक केवल प्राकृतिक (या सामान्य) लघुगणकों से निकालने देता है।
तीन आम आधार
| आधार | संकेत | आम इस्तेमाल |
|---|---|---|
| 10 | लॉग या लॉग₁₀ | पीएच, डेसिबल, रिक्टर पैमाना, परिमाण का क्रम |
| e ≈ 2.71828 | लॉगₑ (प्राकृतिक लघुगणक) | लगातार वृद्धि, कलन, चक्रवृद्धि ब्याज |
| 2 | लॉग₂ | कंप्यूटर विज्ञान, बिट, आधा और दोगुना होना |
हल किया गया उदाहरण
लॉग₁₀(1000) = 3, क्योंकि 10 × 10 × 10 = 1000। अपने आधार के लिए लॉग₃(81) लें: लॉगₑ 81 ≈ 4.394449 और लॉगₑ 3 ≈ 1.098612; भाग देने पर ठीक 4 आता है, और सचमुच 3⁴ = 81।
लघुगणक के नियम
- गुणनफल: लॉग(a × b) = लॉग a + लॉग b
- भागफल: लॉग(a ÷ b) = लॉग a − लॉग b
- घात: लॉग(aⁿ) = n × लॉग a
- विशेष मान: हर मान्य आधार के लिए लॉगᵦ(1) = 0 और लॉगᵦ(b) = 1
सुझाव
- संख्या 0 से बड़ी होनी चाहिए, और आधार धनात्मक हो तथा 1 के बराबर न हो।
- 0 और 1 के बीच की संख्याओं के लघुगणक ऋणात्मक होते हैं: लॉग₁₀(0.01) = −2।
- bˣ = y में x निकालने के लिए दोनों तरफ़ लघुगणक लें: x = लॉगₑ(y) ÷ लॉगₑ(b) – “मेरा पैसा कितने समय में दोगुना होगा?” जैसे सवालों में काम आता है।
- आधार 10 वाले लघुगणक में 1 की हर बढ़त का मतलब 10 गुना है, इसीलिए 6 तीव्रता वाले भूकंप की तरंगों का आयाम 5 तीव्रता वाले से दस गुना होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
लघुगणक क्या है?
लघुगणक इस सवाल का जवाब है: “आधार पर कौन-सी घात लगाएँ कि यह संख्या मिले?”। लॉग₂(8) = 3, क्योंकि 2³ = 8। लघुगणक गुणा को जोड़ में बदल देते हैं, इसीलिए ये विज्ञान, वित्त और कंप्यूटिंग में जगह-जगह आते हैं।
सामान्य लघुगणक और प्राकृतिक लघुगणक में क्या अंतर है?
बिना आधार लिखा “लॉग” आम तौर पर आधार 10 (सामान्य लघुगणक) होता है, जबकि प्राकृतिक लघुगणक का आधार e ≈ 2.718281828 है और उसे अक्सर अलग संकेत से लिखा जाता है। पर कई प्रोग्रामिंग भाषाओं और उच्च गणित की किताबों में बिना आधार वाला लॉग प्राकृतिक लघुगणक होता है – संदर्भ ज़रूर देखें।
किसी दूसरे आधार का लघुगणक कैसे निकालें?
आधार परिवर्तन का सूत्र लगाएँ: लॉगᵦ(x) = लॉगₑ(x) ÷ लॉगₑ(b) (या लॉग₁₀(x) ÷ लॉग₁₀(b))। उदाहरण: लॉग₃(81) = लॉगₑ 81 ÷ लॉगₑ 3 = 4.394449 ÷ 1.098612 = 4।
शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक क्यों नहीं निकलता?
धनात्मक आधार पर कोई भी वास्तविक घात लगाने से नतीजा हमेशा धनात्मक आता है, इसलिए कोई घात 0 या ऋणात्मक संख्या नहीं देती। वहाँ लघुगणक परिभाषित नहीं है; x जैसे-जैसे 0 के पास जाता है, लघुगणक ऋण अनंत की ओर जाता है।
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