🔺 त्रिभुज कैलकुलेटर
जो पता है उसे नाम दें – भुजाएँ a, b, c और उनके सामने के कोण A, B, C – और बाकी मान ज्या या कोज्या नियम से हल होते हैं, हर चरण लिखकर।
संक्षिप्त उत्तर: 3, 4 और 5 भुजाओं वाले त्रिभुज के कोण 36.87°, 53.13° और 90° हैं, क्षेत्रफल 6 और परिमाप 12 है – यह समकोण विषमबाहु त्रिभुज है।
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त्रिभुज कैलकुलेटर के इनपुट
परिणाम
हल: समकोण विषमबाहु त्रिभुज
A = 36.87°, B = 53.13°, C = 90°
भुजाएँ 3, 4, 5
- क्षेत्रफल
- 6
- परिमाप
- 12
- प्रकार
- समकोण विषमबाहु त्रिभुज
| भुजाएँ a, b, c | 3, 4, 5 |
| कोण A, B, C | 36.8699°, 53.1301°, 90° |
| रेडियन में कोण | 0.6435, 0.9273, 1.5708 |
| ऊँचाइयाँ hₐ, h_b, h_c | 4, 3, 2.4 |
| अर्धपरिमाप s | 6 |
| अंतःत्रिज्या r = क्षेत्रफल ÷ s | 1 |
| परित्रिज्या R = a ÷ (2 ज्या A) | 2.5 |
चरण-दर-चरण हल
- कोज्या नियम: A = कोज्या⁻¹((b² + c² − a²) ÷ 2b·c) = कोज्या⁻¹((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = 36.8699°
- B = कोज्या⁻¹((a² + c² − b²) ÷ 2a·c) = 53.1301°
- C = 180° − A − B = 90°
- क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र): √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- परिमाप: 3 + 4 + 5 = 12
त्रिभुज कैसे हल करें
भुजाओं को a, b और c नाम दें, और उनके सामने के कोणों को A, B और C। जो पता है उसके अनुसार स्थिति चुनें और तीन मान डालें; बाकी कैलकुलेटर निकाल देता है।
कोज्या नियम: c² = a² + b² − 2a·b·कोज्या C · ज्या नियम: a ÷ ज्या A = b ÷ ज्या B = c ÷ ज्या C
| आपको पता है | तरीका |
|---|---|
| भुजा-भुजा-भुजा – तीन भुजाएँ | हर कोण के लिए कोज्या नियम |
| भुजा-कोण-भुजा – दो भुजाएँ + बीच का कोण | तीसरी भुजा के लिए कोज्या नियम, फिर कोण |
| कोण-भुजा-कोण / कोण-कोण-भुजा – दो कोण + एक भुजा | तीसरा कोण = 180° − A − B, फिर ज्या नियम |
| भुजा-भुजा-कोण – दो भुजाएँ + बीच में न आने वाला कोण | ज्या नियम; 0, 1 या 2 हल हो सकते हैं |
हल किया गया उदाहरण (भुजा-भुजा-भुजा)
भुजाएँ 3, 4 और 5:
- A = कोज्या⁻¹((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)) = कोज्या⁻¹(0.8) = 36.87°।
- B = कोज्या⁻¹((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5)) = कोज्या⁻¹(0.6) = 53.13°।
- C = 180° − 36.87° − 53.13° = 90°, इसलिए यह समकोण त्रिभुज है।
- s = 6, इसलिए क्षेत्रफल = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6, और परिमाप 12 है।
त्रिभुजों का वर्गीकरण
- भुजाओं के आधार पर: समबाहु (तीनों बराबर), समद्विबाहु (दो बराबर), विषमबाहु (कोई बराबर नहीं)।
- कोणों के आधार पर: न्यूनकोण (सभी 90° से कम), समकोण (एक ठीक 90°), अधिककोण (एक 90° से ज़्यादा)।
जाँच
- तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है।
- त्रिभुज असमिका: किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से ज़्यादा होना चाहिए, इसलिए 2, 3 और 6 से त्रिभुज नहीं बन सकता।
- सबसे लंबी भुजा हमेशा सबसे बड़े कोण के सामने होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
भुजा-भुजा-भुजा, भुजा-कोण-भुजा जैसी स्थितियों का क्या मतलब है?
ये बताती हैं कि आपको कौन-से तीन माप पता हैं, त्रिभुज के चारों ओर क्रम से। भुजा-कोण-भुजा का मतलब है दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण; कोण-कोण-भुजा का मतलब है दो कोण और ऐसी भुजा जो उनके बीच नहीं है। इनमें से हर स्थिति त्रिभुज को तय कर देती है, सिवाय भुजा-भुजा-कोण के, जिससे शून्य, एक या दो त्रिभुज बन सकते हैं।
भुजा-भुजा-कोण से दो त्रिभुज क्यों बन सकते हैं?
जब दो भुजाएँ और एक ऐसा कोण पता हो जो उनके बीच नहीं है, तो तीसरा शीर्ष कभी-कभी दो जगह घूम सकता है। ज्या नियम से ज्या B मिलता है, और B तथा 180° − B दोनों सही हो सकते हैं। इसे “संदिग्ध स्थिति” कहते हैं; जब दोनों त्रिभुज बनते हैं तो कैलकुलेटर दोनों दिखाता है।
तीन कोणों से त्रिभुज हल क्यों नहीं हो सकता?
तीन कोण आकार तय करते हैं, माप नहीं – हर बड़ी या छोटी प्रति के कोण वही रहते हैं। कम से कम एक भुजा की लंबाई चाहिए।
क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है?
तीनों भुजाएँ पता होने पर कैलकुलेटर हीरोन का सूत्र लगाता है: क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), जहाँ s अर्धपरिमाप है। इसके समान सूत्र हैं ½a·b·ज्या C और ½ × आधार × ऊँचाई।
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